Theorem ordelord 4905

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2529	. . . . 5
2	1	anbi2d 703	. . . 4
3		ordeq 4890	. . . 4
4	2, 3	imbi12d 320	. . 3
5		simpll 753	. . . . . . . . 9
6		3anrot 978	. . . . . . . . . . . 12
7		3anass 977	. . . . . . . . . . . 12
8	6, 7	bitr3i 251	. . . . . . . . . . 11
9		ordtr 4897	. . . . . . . . . . . 12
10		trel3 4553	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11
12	8, 11	syl5bir 218	. . . . . . . . . 10
13	12	impl 620	. . . . . . . . 9
14		trel 4552	. . . . . . . . . . . . 13
15	9, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
16	15	expcomd 438	. . . . . . . . . . 11
17	16	imp31 432	. . . . . . . . . 10
18	17	adantrl 715	. . . . . . . . 9
19		simplr 755	. . . . . . . . 9
20		ordwe 4896	. . . . . . . . . 10
21		wetrep 4877	. . . . . . . . . 10
22	20, 21	sylan 471	. . . . . . . . 9
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1230	. . . . . . . 8
24	23	ex 434	. . . . . . 7
25	24	pm2.43d 48	. . . . . 6
26	25	alrimivv 1720	. . . . 5
27		dftr2 4547	. . . . 5
28	26, 27	sylibr 212	. . . 4
29		trss 4554	. . . . . . 7
30	9, 29	syl 16	. . . . . 6
31		wess 4871	. . . . . 6
32	30, 20, 31	syl6ci 65	. . . . 5
33	32	imp 429	. . . 4
34		df-ord 4886	. . . 4
35	28, 33, 34	sylanbrc 664	. . 3
36	4, 35	vtoclg 3167	. 2
37	36	anabsi7 819	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Trwtr 4545  cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882

This theorem is referenced by:  tron  4906  ordelon  4907  ordtr2  4927  ordtr3  4928  ordintdif  4932  ordsuc  6649  ordsucss  6653  ordsucelsuc  6657  ordsucuniel  6659  limsssuc  6685  smores  7042  smo11  7054  smoord  7055  smoword  7056  smogt  7057  smorndom  7058  rdglim2  7117  oesuclem  7194  ordtypelem3  7966  r1val1  8225  rankr1ag  8241  fin23lem24  8723  onsuct0  29906  dford3  30970  ordpss  31360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886