Theorem ordpipq 9341

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipq

Proof of Theorem ordpipq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4716	. . 3
2		opex 4716	. . 3
3		eleq1 2529	. . . . . 6
4	3	anbi1d 704	. . . . 5
5	4	anbi1d 704	. . . 4
6		fveq2 5871	. . . . . . . 8
7		opelxp 5034	. . . . . . . . . 10
8		op1stg 6812	. . . . . . . . . 10
9	7, 8	sylbi 195	. . . . . . . . 9
10	9	adantr 465	. . . . . . . 8
11	6, 10	sylan9eq 2518	. . . . . . 7
12	11	oveq1d 6311	. . . . . 6
13		fveq2 5871	. . . . . . . 8
14		op2ndg 6813	. . . . . . . . . 10
15	7, 14	sylbi 195	. . . . . . . . 9
16	15	adantr 465	. . . . . . . 8
17	13, 16	sylan9eq 2518	. . . . . . 7
18	17	oveq2d 6312	. . . . . 6
19	12, 18	breq12d 4465	. . . . 5
20	19	pm5.32da 641	. . . 4
21	5, 20	bitrd 253	. . 3
22		eleq1 2529	. . . . . 6
23	22	anbi2d 703	. . . . 5
24	23	anbi1d 704	. . . 4
25		fveq2 5871	. . . . . . . 8
26		opelxp 5034	. . . . . . . . . 10
27		op2ndg 6813	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	sylbi 195	. . . . . . . . 9
29	28	adantl 466	. . . . . . . 8
30	25, 29	sylan9eq 2518	. . . . . . 7
31	30	oveq2d 6312	. . . . . 6
32		fveq2 5871	. . . . . . . 8
33		op1stg 6812	. . . . . . . . . 10
34	26, 33	sylbi 195	. . . . . . . . 9
35	34	adantl 466	. . . . . . . 8
36	32, 35	sylan9eq 2518	. . . . . . 7
37	36	oveq1d 6311	. . . . . 6
38	31, 37	breq12d 4465	. . . . 5
39	38	pm5.32da 641	. . . 4
40	24, 39	bitrd 253	. . 3
41		df-ltpq 9309	. . 3
42	1, 2, 21, 40, 41	brab 4775	. 2
43		simpr 461	. . 3
44		ltrelpi 9288	. . . . . 6
45	44	brel 5053	. . . . 5
46		dmmulpi 9290	. . . . . . 7
47		0npi 9281	. . . . . . 7
48	46, 47	ndmovrcl 6461	. . . . . 6
49	46, 47	ndmovrcl 6461	. . . . . 6
50	48, 49	anim12i 566	. . . . 5
51		opelxpi 5036	. . . . . . 7
52	51	ad2ant2rl 748	. . . . . 6
53		simprl 756	. . . . . . 7
54		simplr 755	. . . . . . 7
55		opelxpi 5036	. . . . . . 7
56	53, 54, 55	syl2anc 661	. . . . . 6
57	52, 56	jca 532	. . . . 5
58	45, 50, 57	3syl 20	. . . 4
59	58	ancri 552	. . 3
60	43, 59	impbii 188	. 2
61	42, 60	bitri 249	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  cnpi 9243  cmi 9245  clti 9246  cltpq 9249

This theorem is referenced by:  ordpinq  9342  lterpq  9369  ltanq  9370  ltmnq  9371  1lt2nq  9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-omul 7154  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309