MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtri3or Unicode version

Theorem ordtri3or 4915
Description: A trichotomy law for ordinals. Proposition 7.10 of [TakeutiZaring] p. 38. (Contributed by NM, 10-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtri3or

Proof of Theorem ordtri3or
StepHypRef Expression
1 ordin 4913 . . . . . 6
2 ordirr 4901 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
4 ianor 488 . . . . . 6
5 elin 3686 . . . . . . 7
6 incom 3690 . . . . . . . . 9
76eleq1i 2534 . . . . . . . 8
87anbi2i 694 . . . . . . 7
95, 8bitri 249 . . . . . 6
104, 9xchnxbir 309 . . . . 5
113, 10sylib 196 . . . 4
12 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
13 ordsseleq 4912 . . . . . . . . . 10
1412, 13mpbii 211 . . . . . . . . 9
151, 14sylan 471 . . . . . . . 8
1615anabss1 814 . . . . . . 7
1716ord 377 . . . . . 6
18 df-ss 3489 . . . . . 6
1917, 18syl6ibr 227 . . . . 5
20 ordin 4913 . . . . . . . . 9
21 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
22 ordsseleq 4912 . . . . . . . . . 10
2321, 22mpbii 211 . . . . . . . . 9
2420, 23sylan 471 . . . . . . . 8
2524anabss4 815 . . . . . . 7
2625ord 377 . . . . . 6
27 df-ss 3489 . . . . . 6
2826, 27syl6ibr 227 . . . . 5
2919, 28orim12d 838 . . . 4
3011, 29mpd 15 . . 3
31 sspsstri 3605 . . 3
3230, 31sylib 196 . 2
33 ordelpss 4911 . . 3
34 biidd 237 . . 3
35 ordelpss 4911 . . . 4
3635ancoms 453 . . 3
3733, 34, 363orbi123d 1298 . 2
3832, 37mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  Ordword 4882
This theorem is referenced by:  ordtri1  4916  ordtri3  4919  ordon  6618  ordeleqon  6624  smo11  7054  smoord  7055  omopth2  7252  r111  8214  tcrank  8323  domtriomlem  8843  axdc3lem2  8852  zorn2lem6  8902  grur1  9219  poseq  29333  soseq  29334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886
  Copyright terms: Public domain W3C validator