MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem10 Unicode version

Theorem ordtypelem10 7973
Description: Lemma for ordtype 7978. Using ax-rep 4563, exclude the possibility that is a proper class and does not enumerate all of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1
ordtypelem.2
ordtypelem.3
ordtypelem.5
ordtypelem.6
ordtypelem.7
ordtypelem.8
Assertion
Ref Expression
ordtypelem10
Distinct variable groups:   , ,   , , , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,O, , ,   , ,   , , , , , , , ,

Proof of Theorem ordtypelem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . 3
2 ordtypelem.2 . . 3
3 ordtypelem.3 . . 3
4 ordtypelem.5 . . 3
5 ordtypelem.6 . . 3
6 ordtypelem.7 . . 3
7 ordtypelem.8 . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem8 7971 . 2
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 7967 . . . . 5
10 frn 5742 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 simprl 756 . . . . . . . . 9
136adantr 465 . . . . . . . . . . 11
147adantr 465 . . . . . . . . . . 11
151, 2, 3, 4, 5, 13, 14ordtypelem8 7971 . . . . . . . . . . . . 13
16 isof1o 6221 . . . . . . . . . . . . 13
17 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . 13
1815, 16, 173syl 20 . . . . . . . . . . . 12
19 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . 14
2015, 16, 193syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 seex 4847 . . . . . . . . . . . . . . 15
237, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
2411adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 rexnal 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem7 7970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2726ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2827rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2925, 28syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 ffun 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
339, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 funfn 5622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
37 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837ralrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3936, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4031, 39mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 ssrab 3577 . . . . . . . . . . . . . . 15
4224, 40, 41sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14
4323, 42ssexd 4599 . . . . . . . . . . . . 13
44 f1dmex 6770 . . . . . . . . . . . . 13
4520, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
46 fex 6145 . . . . . . . . . . . 12
4718, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
481, 2, 3, 4, 5, 13, 14, 47ordtypelem9 7972 . . . . . . . . . 10
49 isof1o 6221 . . . . . . . . . 10
50 f1ofo 5828 . . . . . . . . . 10
51 forn 5803 . . . . . . . . . 10
5248, 49, 50, 514syl 21 . . . . . . . . 9
5312, 52eleqtrrd 2548 . . . . . . . 8
5453expr 615 . . . . . . 7
5554pm2.18d 111 . . . . . 6
5655ex 434 . . . . 5
5756ssrdv 3509 . . . 4
5811, 57eqssd 3520 . . 3
59 isoeq5 6219 . . 3
6058, 59syl 16 . 2
618, 60mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  iota_crio 6256  recscrecs 7060  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  ordtype  7978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator