MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem6 Unicode version

Theorem ordtypelem6 7969
Description: Lemma for ordtype 7978. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1
ordtypelem.2
ordtypelem.3
ordtypelem.5
ordtypelem.6
ordtypelem.7
ordtypelem.8
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6
Distinct variable groups:   , ,   , , , , , , , ,M   ,N, ,   , , , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,O, , ,   , ,   , , , , , , , ,

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . 4
2 ssrab2 3584 . . . . . . . 8
3 simpr 461 . . . . . . . . . 10
4 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13
5 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13
6 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13
7 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13
8 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13
9 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13
10 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem4 7967 . . . . . . . . . . . 12
12 fdm 5740 . . . . . . . . . . . 12
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10
153, 14eleqtrd 2547 . . . . . . . . 9
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem3 7966 . . . . . . . . 9
1715, 16syldan 470 . . . . . . . 8
182, 17sseldi 3501 . . . . . . 7
19 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
2019ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
2120elrab 3257 . . . . . . . 8
2221simprbi 464 . . . . . . 7
2318, 22syl 16 . . . . . 6
244tfr1a 7082 . . . . . . . . 9
2524simpli 458 . . . . . . . 8
26 funfn 5622 . . . . . . . 8
2725, 26mpbi 208 . . . . . . 7
2824simpri 462 . . . . . . . . 9
29 limord 4942 . . . . . . . . 9
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8
31 inss2 3718 . . . . . . . . . 10
3213, 31syl6eqss 3553 . . . . . . . . 9
3332sselda 3503 . . . . . . . 8
34 ordelss 4899 . . . . . . . 8
3530, 33, 34sylancr 663 . . . . . . 7
36 breq1 4455 . . . . . . . 8
3736ralima 6152 . . . . . . 7
3827, 35, 37sylancr 663 . . . . . 6
3923, 38mpbid 210 . . . . 5
4039adantrr 716 . . . 4
41 fveq2 5871 . . . . . 6
4241breq1d 4462 . . . . 5
4342rspcv 3206 . . . 4
441, 40, 43sylc 60 . . 3
454, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem1 7964 . . . . . 6
4645adantr 465 . . . . 5
4746fveq1d 5873 . . . 4
484, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem2 7965 . . . . . . . 8
4948adantr 465 . . . . . . 7
50 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
5113, 50syl6eqss 3553 . . . . . . . . 9
5251sselda 3503 . . . . . . . 8
5352adantrr 716 . . . . . . 7
54 ordelss 4899 . . . . . . 7
5549, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6
5655, 1sseldd 3504 . . . . 5
57 fvres 5885 . . . . 5
5856, 57syl 16 . . . 4
5947, 58eqtrd 2498 . . 3
6046fveq1d 5873 . . . 4
61 fvres 5885 . . . . 5
6253, 61syl 16 . . . 4
6360, 62eqtrd 2498 . . 3
6444, 59, 633brtr4d 4482 . 2
6564expr 615 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  iota_crio 6256  recscrecs 7060  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator