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Theorem ordtypelem7 7970
Description: Lemma for ordtype 7978. is an initial segment of under the well-order . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1
ordtypelem.2
ordtypelem.3
ordtypelem.5
ordtypelem.6
ordtypelem.7
ordtypelem.8
Assertion
Ref Expression
ordtypelem7
Distinct variable groups:   , ,   , , , , , , , ,M   ,N, ,   , , , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,O, , ,   , ,   , , , , , , , ,

Proof of Theorem ordtypelem7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3485 . . . . . 6
2 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . 12
3 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . 12
4 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . 12
5 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . 12
6 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . 12
7 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . 12
8 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . 12
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem4 7967 . . . . . . . . . . 11
109adantr 465 . . . . . . . . . 10
11 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9
13 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem2 7965 . . . . . . . . . . . 12
1514adantr 465 . . . . . . . . . . 11
16 ordsson 6625 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
1813, 17syl5ss 3514 . . . . . . . . 9
1912, 18eqsstrd 3537 . . . . . . . 8
2019sseld 3502 . . . . . . 7
21 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
22 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2322breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
2421, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
2524imbi2d 316 . . . . . . . . 9
26 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
27 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2827breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
2926, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
3029imbi2d 316 . . . . . . . . 9
31 r19.21v 2862 . . . . . . . . . 10
322tfr1a 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3332simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
34 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36 ordin 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3715, 35, 36sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 ordeq 4890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3912, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4037, 39mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4240, 41sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4342sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
499ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
50 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5349, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5452, 53eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5651, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5856, 57syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5948, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
632, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem1 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6542adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6665, 53sseqtrd 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6766, 13syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
70 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7268, 71sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7372anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7473breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7574ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7664, 67, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7762, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7832simpli 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
79 funfn 5622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8078, 79mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
81 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8266, 81syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8483ralima 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8580, 82, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8677, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8887ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9061, 86, 89sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9164fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9213, 54sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
93 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9591, 94eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
972, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem3 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9896, 54, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9995, 98eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101100notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103102elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10599, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107106notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10990, 105, 108sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 weso 4875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1117, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11349, 54ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 sotric 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115112, 113, 61, 114syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117115, 116syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11859, 109, 117mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15
12046, 119sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
122121com23 78 . . . . . . . . . . . 12
123122a2i 13 . . . . . . . . . . 11
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10
12531, 124syl5bi 217 . . . . . . . . 9
12625, 30, 125tfis3 6692 . . . . . . . 8
127126com3l 81 . . . . . . 7
12820, 127mpdd 40 . . . . . 6
1291, 128sylan2br 476 . . . . 5
130129anassrs 648 . . . 4
131130impancom 440 . . 3
132131orrd 378 . 2
133132orcomd 388 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  iota_crio 6256  recscrecs 7060  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  ordtypelem9  7972  ordtypelem10  7973  oiiniseg  7979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061  df-oi 7956
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