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Theorem ordtypelem9 7972
Description: Lemma for ordtype 7978. Either the function OrdIso is an isomorphism onto all of , or OrdIso is not a set, which by oif 7976 implies that either is a proper class or . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1
ordtypelem.2
ordtypelem.3
ordtypelem.5
ordtypelem.6
ordtypelem.7
ordtypelem.8
ordtypelem9.1
Assertion
Ref Expression
ordtypelem9
Distinct variable groups:   , ,   , , , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,O, , ,   , ,   , , , , , , , ,

Proof of Theorem ordtypelem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . 3
2 ordtypelem.2 . . 3
3 ordtypelem.3 . . 3
4 ordtypelem.5 . . 3
5 ordtypelem.6 . . 3
6 ordtypelem.7 . . 3
7 ordtypelem.8 . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem8 7971 . 2
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 7967 . . . . 5
10 frn 5742 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 7965 . . . . . . . . . . . . 13
13 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12
151tfr1a 7082 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . . 15
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem1 7964 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 ordtypelem9.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2119, 20eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15
221tfr2b 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2312, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2421, 23mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ordelon 4907 . . . . . . . . . . . . . 14
2618, 24, 25sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
27 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3130cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3332ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3431, 33syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3736raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3837rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3935, 38syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . . . . 16
414, 40eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
4229, 41elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
4342baib 903 . . . . . . . . . . . . 13
4426, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4514, 44mtbid 300 . . . . . . . . . . 11
46 ralnex 2903 . . . . . . . . . . 11
4745, 46sylibr 212 . . . . . . . . . 10
4847r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9
4919rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . 13
50 df-ima 5017 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . 12
5251adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5352raleqdv 3060 . . . . . . . . . 10
54 ffun 5738 . . . . . . . . . . . . . 14
559, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
56 funfn 5622 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
5857adantr 465 . . . . . . . . . . 11
59 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
6059ralrn 6034 . . . . . . . . . . 11
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . 10
6253, 61bitr3d 255 . . . . . . . . 9
6348, 62mtbid 300 . . . . . . . 8
64 rexnal 2905 . . . . . . . 8
6563, 64sylibr 212 . . . . . . 7
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem7 7970 . . . . . . . . 9
6766ord 377 . . . . . . . 8
6867rexlimdva 2949 . . . . . . 7
6965, 68mpd 15 . . . . . 6
7069ex 434 . . . . 5
7170ssrdv 3509 . . . 4
7211, 71eqssd 3520 . . 3
73 isoeq5 6219 . . 3
7472, 73syl 16 . 2
758, 74mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  Isomwiso 5594  iota_crio 6256  recscrecs 7060  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  ordtypelem10  7973  ordtype2  7980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-oi 7956
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