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Theorem otiunsndisj 4758
Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
otiunsndisj
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem otiunsndisj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 385 . . . . 5
21a1d 25 . . . 4
3 eliun 4335 . . . . . . . . . 10
4 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 otthg 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
95, 6, 7, 8syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119, 10syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1211con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1413com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1514imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2118, 20sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2417, 23mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15
2624, 25sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . 14
2726nrexdv 2913 . . . . . . . . . . . . 13
28 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28sylnibr 305 . . . . . . . . . . . 12
3029ex 434 . . . . . . . . . . 11
3130rexlimdva 2949 . . . . . . . . . 10
323, 31syl5bi 217 . . . . . . . . 9
3332ralrimiv 2869 . . . . . . . 8
34 oteq3 4228 . . . . . . . . . . . . 13
3534sneqd 4041 . . . . . . . . . . . 12
3635cbviunv 4369 . . . . . . . . . . 11
3736eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
3837notbii 296 . . . . . . . . 9
3938ralbii 2888 . . . . . . . 8
4033, 39sylibr 212 . . . . . . 7
41 disj 3867 . . . . . . 7
4240, 41sylibr 212 . . . . . 6
4342olcd 393 . . . . 5
4443ex 434 . . . 4
452, 44pm2.61i 164 . . 3
4645ralrimivva 2878 . 2
47 sneq 4039 . . . . 5
4847difeq2d 3621 . . . 4
49 oteq1 4226 . . . . 5
5049sneqd 4041 . . . 4
5148, 50iuneq12d 4356 . . 3
5251disjor 4436 . 2
5346, 52sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029  <.cotp 4037  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422
This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  25066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-ot 4038  df-iun 4332  df-disj 4423
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