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Theorem pc2dvds 14402
Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc2dvds
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem pc2dvds
StepHypRef Expression
1 pcdvdstr 14399 . . . . 5
21ancoms 453 . . . 4
32ralrimiva 2871 . . 3
433expia 1198 . 2
5 oveq2 6304 . . . . . 6
65breq1d 4462 . . . . 5
76ralbidv 2896 . . . 4
8 breq1 4455 . . . 4
97, 8imbi12d 320 . . 3
10 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . . 12
1110simpld 459 . . . . . . . . . . 11
12 gcdcl 14155 . . . . . . . . . . . . 13
1312nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . 12
14 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
15 dvdsabsb 14003 . . . . . . . . . . . 12
1613, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
1711, 16mpbid 210 . . . . . . . . . 10
1817adantr 465 . . . . . . . . 9
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
2019necon3ai 2685 . . . . . . . . . . . 12
21 gcdn0cl 14152 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
2322nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
2422nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
25 nnabscl 13158 . . . . . . . . . . . 12
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
2726nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
28 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . 10
2923, 24, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
3018, 29mpbid 210 . . . . . . . 8
31 nnre 10568 . . . . . . . . . . 11
32 nngt0 10590 . . . . . . . . . . 11
3331, 32jca 532 . . . . . . . . . 10
34 nnre 10568 . . . . . . . . . . 11
35 nngt0 10590 . . . . . . . . . . 11
3634, 35jca 532 . . . . . . . . . 10
37 divgt0 10435 . . . . . . . . . 10
3833, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . 9
3926, 22, 38syl2anc 661 . . . . . . . 8
40 elnnz 10899 . . . . . . . 8
4130, 39, 40sylanbrc 664 . . . . . . 7
42 elnn1uz2 11187 . . . . . . 7
4341, 42sylib 196 . . . . . 6
4410simprd 463 . . . . . . . . . 10
4544adantr 465 . . . . . . . . 9
46 breq1 4455 . . . . . . . . 9
4745, 46syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
4826nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
4922nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
50 1cnd 9633 . . . . . . . . . 10
5148, 49, 50, 24divmuld 10367 . . . . . . . . 9
5249mulid1d 9634 . . . . . . . . . 10
5352eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
5451, 53bitrd 253 . . . . . . . 8
55 absdvdsb 14002 . . . . . . . . 9
5655adantr 465 . . . . . . . 8
5747, 54, 563imtr4d 268 . . . . . . 7
58 exprmfct 14251 . . . . . . . 8
59 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6026adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 pcdiv 14376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6559, 61, 62, 63, 64syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 zq 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69 pcabs 14398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7059, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7265, 71eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7441adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 pcelnn 14393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7659, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7773, 76mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
7872, 77eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . 14
7959, 63pccld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 pczcl 14372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8359, 66, 81, 82syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 znnsub 10935 . . . . . . . . . . . . . . 15
8680, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
8778, 86mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
8879nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . 14
8983nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89ltnled 9753 . . . . . . . . . . . . 13
9187, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
92 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 nprmdvds1 14252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 gcdid0 14162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9666, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9796oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9848adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9998, 62dividd 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10097, 99eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10294, 101mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10673, 105syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106necon3bd 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108102, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 pczcl 14372 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11059, 92, 108, 109syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . 14
112 lemin 11421 . . . . . . . . . . . . . 14
11389, 89, 111, 112syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
114 pcgcd 14401 . . . . . . . . . . . . . . 15
11559, 66, 92, 114syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
116115breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
11789leidd 10144 . . . . . . . . . . . . . 14
118117biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13
119113, 116, 1183bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . 12
12091, 119mtbird 301 . . . . . . . . . . 11
121120expr 615 . . . . . . . . . 10
122121reximdva 2932 . . . . . . . . 9
123 rexnal 2905 . . . . . . . . 9
124122, 123syl6ib 226 . . . . . . . 8
12558, 124syl5 32 . . . . . . 7
12657, 125orim12d 838 . . . . . 6
12743, 126mpd 15 . . . . 5
128127ord 377 . . . 4
129128con4d 105 . . 3
130 2prm 14233 . . . . . 6
131130ne0ii 3791 . . . . 5
132 r19.2z 3918 . . . . 5
133131, 132mpan 670 . . . 4
134 id 22 . . . . . . . . . . 11
135 zq 11217 . . . . . . . . . . . 12
136135adantl 466 . . . . . . . . . . 11
137 pcxcl 14384 . . . . . . . . . . 11
138134, 136, 137syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
139 pnfge 11368 . . . . . . . . . 10
140138, 139syl 16 . . . . . . . . 9
141140biantrurd 508 . . . . . . . 8
142 pc0 14378 . . . . . . . . . 10
143142adantl 466 . . . . . . . . 9
144143breq1d 4462 . . . . . . . 8
145 pnfxr 11350 . . . . . . . . 9
146 xrletri3 11387 . . . . . . . . 9
147138, 145, 146sylancl 662 . . . . . . . 8
148141, 144, 1473bitr4d 285 . . . . . . 7
149 pnfnre 9656 . . . . . . . . . 10
150149neli 2792 . . . . . . . . 9
151 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
152150, 151mtbiri 303 . . . . . . . 8
153109nn0red 10878 . . . . . . . . . . . 12
154153adantll 713 . . . . . . . . . . 11
155154an4s 826 . . . . . . . . . 10
156155expr 615 . . . . . . . . 9
157156necon1bd 2675 . . . . . . . 8
158152, 157syl5 32 . . . . . . 7
159148, 158sylbid 215 . . . . . 6
160159rexlimdva 2949 . . . . 5
161 0dvds 14004 . . . . . 6
162161adantl 466 . . . . 5
163160, 162sylibrd 234 . . . 4
164133, 163syl5 32 . . 3
1659, 129, 164pm2.61ne 2772 . 2
1664, 165impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cq 11211   cabs 13067   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pc11  14403  pcz  14404  pcprmpw2  14405  pockthg  14424  pgpfi  16625  fislw  16645  gexexlem  16858  ablfac1c  17122  sqff1o  23456  chtublem  23486  bposlem6  23564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
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