MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcadd2 Unicode version

Theorem pcadd2 14409
Description: The inequality of pcadd 14408 becomes an equality when one of the factors has prime count strictly less than the other. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcadd2.1
pcadd2.2
pcadd2.3
pcadd2.4
Assertion
Ref Expression
pcadd2

Proof of Theorem pcadd2
StepHypRef Expression
1 pcadd2.1 . . 3
2 pcadd2.2 . . 3
3 pcadd2.3 . . 3
4 pcadd2.4 . . . 4
5 pcxcl 14384 . . . . . 6
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . 5
7 pcxcl 14384 . . . . . 6
81, 3, 7syl2anc 661 . . . . 5
9 xrltle 11384 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 661 . . . 4
114, 10mpd 15 . . 3
121, 2, 3, 11pcadd 14408 . 2
13 qaddcl 11227 . . . . 5
142, 3, 13syl2anc 661 . . . 4
15 qnegcl 11228 . . . . 5
163, 15syl 16 . . . 4
17 xrltnle 9674 . . . . . . . . . 10
186, 8, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9
194, 18mpbid 210 . . . . . . . 8
201adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2116adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2214adantr 465 . . . . . . . . . . 11
23 pcneg 14397 . . . . . . . . . . . . . 14
241, 3, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
2524breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
2625biimpar 485 . . . . . . . . . . 11
2720, 21, 22, 26pcadd 14408 . . . . . . . . . 10
2827ex 434 . . . . . . . . 9
29 qcn 11225 . . . . . . . . . . . . . . 15
303, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3130negcld 9941 . . . . . . . . . . . . 13
32 qcn 11225 . . . . . . . . . . . . . 14
332, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 33, 30add12d 9824 . . . . . . . . . . . 12
3531, 30addcomd 9803 . . . . . . . . . . . . . 14
3630negidd 9944 . . . . . . . . . . . . . 14
3735, 36eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
3837oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
3933addid1d 9801 . . . . . . . . . . . 12
4034, 38, 393eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11
4140oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
4224, 41breq12d 4465 . . . . . . . . 9
4328, 42sylibd 214 . . . . . . . 8
4419, 43mtod 177 . . . . . . 7
45 pcxcl 14384 . . . . . . . . 9
461, 14, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8
47 xrltnle 9674 . . . . . . . 8
4846, 8, 47syl2anc 661 . . . . . . 7
4944, 48mpbird 232 . . . . . 6
50 xrltle 11384 . . . . . . 7
5146, 8, 50syl2anc 661 . . . . . 6
5249, 51mpd 15 . . . . 5
5352, 24breqtrrd 4478 . . . 4
541, 14, 16, 53pcadd 14408 . . 3
5533, 30, 31addassd 9639 . . . . 5
5636oveq2d 6312 . . . . 5
5755, 56, 393eqtrd 2502 . . . 4
5857oveq2d 6312 . . 3
5954, 58breqtrd 4476 . 2
60 xrletri3 11387 . . 3
616, 46, 60syl2anc 661 . 2
6212, 59, 61mpbir2and 922 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cxr 9648   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   cq 11211   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  16618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator