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Theorem pcaddlem 14407
Description: Lemma for pcadd 14408. The original numbers and have been decomposed using the prime count function as where ,S are both not divisible by and , and similarly for . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1
pcaddlem.2
pcaddlem.3
pcaddlem.4
pcaddlem.5
pcaddlem.6
pcaddlem.7
pcaddlem.8
Assertion
Ref Expression
pcaddlem

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . 3
21breq2d 4464 . 2
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7
4 eluzel2 11115 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65zred 10994 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14
9 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . . . 14
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1110nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
1210nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . 12
13 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1514, 5zsubcld 10999 . . . . . . . . . . . 12
1611, 12, 15expclzd 12315 . . . . . . . . . . 11
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13
1817simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
1918zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13
2120simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
2221nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
2321nnne0d 10605 . . . . . . . . . . 11
2416, 19, 22, 23divassd 10380 . . . . . . . . . 10
2524oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12
2726simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2827zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12
3029simpld 459 . . . . . . . . . . 11
3130nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
3216, 19mulcld 9637 . . . . . . . . . 10
3330nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 10389 . . . . . . . . 9
3525, 34eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
3635oveq2d 6312 . . . . . . 7
3736adantr 465 . . . . . 6
388adantr 465 . . . . . . 7
3921nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
4027, 39zmulcld 11000 . . . . . . . . 9
41 uznn0sub 11141 . . . . . . . . . . . . . 14
423, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4310, 42nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . 12
4443nnzd 10993 . . . . . . . . . . 11
4544, 18zmulcld 11000 . . . . . . . . . 10
4630nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
4745, 46zmulcld 11000 . . . . . . . . 9
4840, 47zaddcld 10998 . . . . . . . 8
4948adantr 465 . . . . . . 7
5011, 12, 5expclzd 12315 . . . . . . . . . . . . 13
5150mul01d 9800 . . . . . . . . . . . 12
52 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
5352eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
5451, 53syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11
5554necon3d 2681 . . . . . . . . . 10
5628, 31, 33divcld 10345 . . . . . . . . . . . . 13
5719, 22, 23divcld 10345 . . . . . . . . . . . . . 14
5816, 57mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . 13
5950, 56, 58adddid 9641 . . . . . . . . . . . 12
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14
625zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6314zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6462, 63pncan3d 9957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 expaddz 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6865, 67eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
7050, 16, 57mulassd 9640 . . . . . . . . . . . . . 14
7161, 69, 703eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . 13
7260, 71oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
7359, 72eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
7473neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10
7535neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10
7655, 74, 753imtr3d 267 . . . . . . . . 9
7730, 21nnmulcld 10608 . . . . . . . . . . . . 13
7877nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
7977nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . 12
8078, 79div0d 10344 . . . . . . . . . . 11
81 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
8281eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
8380, 82syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10
8483necon3d 2681 . . . . . . . . 9
8576, 84syld 44 . . . . . . . 8
8685imp 429 . . . . . . 7
8777adantr 465 . . . . . . 7
88 pcdiv 14376 . . . . . . 7
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1233 . . . . . 6
90 pcmul 14375 . . . . . . . . . . 11
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1237 . . . . . . . . . 10
9229simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
93 pceq0 14394 . . . . . . . . . . . . . 14
948, 30, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9592, 94mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
9620simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
97 pceq0 14394 . . . . . . . . . . . . . 14
988, 21, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9996, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
10095, 99oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
101 00id 9776 . . . . . . . . . . 11
102100, 101syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
10391, 102eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
104103oveq2d 6312 . . . . . . . 8
105104adantr 465 . . . . . . 7
106 pczcl 14372 . . . . . . . . . 10
10738, 49, 86, 106syl12anc 1226 . . . . . . . . 9
108107nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
109108subid1d 9943 . . . . . . 7
110105, 109eqtrd 2498 . . . . . 6
11137, 89, 1103eqtrd 2502 . . . . 5
112111, 107eqeltrd 2545 . . . 4
113 nn0addge1 10867 . . . 4
1147, 112, 113syl2anc 661 . . 3
115 nnq 11224 . . . . . . . 8
11610, 115syl 16 . . . . . . 7
117 qexpclz 12187 . . . . . . 7
118116, 12, 5, 117syl3anc 1228 . . . . . 6
119118adantr 465 . . . . 5
12011, 12, 5expne0d 12316 . . . . . 6
121120adantr 465 . . . . 5
122 znq 11215 . . . . . . . 8
12327, 30, 122syl2anc 661 . . . . . . 7
124 qexpclz 12187 . . . . . . . . 9
125116, 12, 15, 124syl3anc 1228 . . . . . . . 8
126 znq 11215 . . . . . . . . 9
12718, 21, 126syl2anc 661 . . . . . . . 8
128 qmulcl 11229 . . . . . . . 8
129125, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . 7
130 qaddcl 11227 . . . . . . 7
131123, 129, 130syl2anc 661 . . . . . 6
132131adantr 465 . . . . 5
13374, 55sylbird 235 . . . . . 6
134133imp 429 . . . . 5
135 pcqmul 14377 . . . . 5
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1237 . . . 4
13773oveq2d 6312 . . . . 5
138137adantr 465 . . . 4
139 pcid 14396 . . . . . . 7
1408, 5, 139syl2anc 661 . . . . . 6
141140oveq1d 6311 . . . . 5
142141adantr 465 . . . 4
143136, 138, 1423eqtr3d 2506 . . 3
144114, 143breqtrrd 4478 . 2
1456rexrd 9664 . . . 4
146 pnfge 11368 . . . 4
147145, 146syl 16 . . 3
148 pc0 14378 . . . 4
1498, 148syl 16 . . 3
150147, 149breqtrrd 4478 . 2
1512, 144, 150pm2.61ne 2772 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   cpnf 9646   cxr 9648   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cq 11211   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pcadd  14408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
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