Theorem pcbc 14419

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc

Distinct variable groups:   P,   ,N   ,

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 998	. . 3
2		nnnn0 10827	. . . . . 6
3	2	3ad2ant1 1017	. . . . 5
4		faccl 12363	. . . . 5
5	3, 4	syl 16	. . . 4
6	5	nnzd 10993	. . 3
7	5	nnne0d 10605	. . 3
8		fznn0sub 11745	. . . . . 6
9	8	3ad2ant2 1018	. . . . 5
10		faccl 12363	. . . . 5
11	9, 10	syl 16	. . . 4
12		elfznn0 11800	. . . . . 6
13	12	3ad2ant2 1018	. . . . 5
14		faccl 12363	. . . . 5
15	13, 14	syl 16	. . . 4
16	11, 15	nnmulcld 10608	. . 3
17		pcdiv 14376	. . 3
18	1, 6, 7, 16, 17	syl121anc 1233	. 2
19		bcval2 12383	. . . 4
20	19	3ad2ant2 1018	. . 3
21	20	oveq2d 6312	. 2
22		fzfid 12083	. . . 4
23		nnre 10568	. . . . . . . . 9
24	23	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8
25	24	adantr 465	. . . . . . 7
26		simpl3 1001	. . . . . . . . 9
27		prmnn 14220	. . . . . . . . 9
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . 8
29		elfznn 11743	. . . . . . . . . 10
30	29	nnnn0d 10877	. . . . . . . . 9
31	30	adantl 466	. . . . . . . 8
32	28, 31	nnexpcld 12331	. . . . . . 7
33	25, 32	nndivred 10609	. . . . . 6
34	33	flcld 11935	. . . . 5
35	34	zcnd 10995	. . . 4
36	13	nn0red 10878	. . . . . . . . . 10
37	24, 36	resubcld 10012	. . . . . . . . 9
38	37	adantr 465	. . . . . . . 8
39	38, 32	nndivred 10609	. . . . . . 7
40	39	flcld 11935	. . . . . 6
41	40	zcnd 10995	. . . . 5
42	36	adantr 465	. . . . . . . 8
43	42, 32	nndivred 10609	. . . . . . 7
44	43	flcld 11935	. . . . . 6
45	44	zcnd 10995	. . . . 5
46	41, 45	addcld 9636	. . . 4
47	22, 35, 46	fsumsub 13603	. . 3
48	3	nn0zd 10992	. . . . . 6
49		uzid 11124	. . . . . 6
50	48, 49	syl 16	. . . . 5
51		pcfac 14418	. . . . 5
52	3, 50, 1, 51	syl3anc 1228	. . . 4
53	13	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . 9
54	24, 36	subge02d 10169	. . . . . . . . 9
55	53, 54	mpbid 210	. . . . . . . 8
56	13	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
57	48, 56	zsubcld 10999	. . . . . . . . 9
58		eluz 11123	. . . . . . . . 9
59	57, 48, 58	syl2anc 661	. . . . . . . 8
60	55, 59	mpbird 232	. . . . . . 7
61		pcfac 14418	. . . . . . 7
62	9, 60, 1, 61	syl3anc 1228	. . . . . 6
63		elfzuz3 11714	. . . . . . . 8
64	63	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7
65		pcfac 14418	. . . . . . 7
66	13, 64, 1, 65	syl3anc 1228	. . . . . 6
67	62, 66	oveq12d 6314	. . . . 5
68	11	nnzd 10993	. . . . . 6
69	11	nnne0d 10605	. . . . . 6
70	15	nnzd 10993	. . . . . 6
71	15	nnne0d 10605	. . . . . 6
72		pcmul 14375	. . . . . 6
73	1, 68, 69, 70, 71, 72	syl122anc 1237	. . . . 5
74	22, 41, 45	fsumadd 13561	. . . . 5
75	67, 73, 74	3eqtr4d 2508	. . . 4
76	52, 75	oveq12d 6314	. . 3
77	47, 76	eqtr4d 2501	. 2
78	18, 21, 77	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cfl 11927  cexp 12166  cfa 12353  cbc 12380  sum_csu 13508  cprime 14217  cpc 14360

This theorem is referenced by:  pcbcctr  23551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361