MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Unicode version

Theorem pcbc 14419
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc
Distinct variable groups:   P,   ,N   ,

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3
2 nnnn0 10827 . . . . . 6
323ad2ant1 1017 . . . . 5
4 faccl 12363 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
65nnzd 10993 . . 3
75nnne0d 10605 . . 3
8 fznn0sub 11745 . . . . . 6
983ad2ant2 1018 . . . . 5
10 faccl 12363 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 elfznn0 11800 . . . . . 6
13123ad2ant2 1018 . . . . 5
14 faccl 12363 . . . . 5
1513, 14syl 16 . . . 4
1611, 15nnmulcld 10608 . . 3
17 pcdiv 14376 . . 3
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1233 . 2
19 bcval2 12383 . . . 4
20193ad2ant2 1018 . . 3
2120oveq2d 6312 . 2
22 fzfid 12083 . . . 4
23 nnre 10568 . . . . . . . . 9
24233ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
2524adantr 465 . . . . . . 7
26 simpl3 1001 . . . . . . . . 9
27 prmnn 14220 . . . . . . . . 9
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8
29 elfznn 11743 . . . . . . . . . 10
3029nnnn0d 10877 . . . . . . . . 9
3130adantl 466 . . . . . . . 8
3228, 31nnexpcld 12331 . . . . . . 7
3325, 32nndivred 10609 . . . . . 6
3433flcld 11935 . . . . 5
3534zcnd 10995 . . . 4
3613nn0red 10878 . . . . . . . . . 10
3724, 36resubcld 10012 . . . . . . . . 9
3837adantr 465 . . . . . . . 8
3938, 32nndivred 10609 . . . . . . 7
4039flcld 11935 . . . . . 6
4140zcnd 10995 . . . . 5
4236adantr 465 . . . . . . . 8
4342, 32nndivred 10609 . . . . . . 7
4443flcld 11935 . . . . . 6
4544zcnd 10995 . . . . 5
4641, 45addcld 9636 . . . 4
4722, 35, 46fsumsub 13603 . . 3
483nn0zd 10992 . . . . . 6
49 uzid 11124 . . . . . 6
5048, 49syl 16 . . . . 5
51 pcfac 14418 . . . . 5
523, 50, 1, 51syl3anc 1228 . . . 4
5313nn0ge0d 10880 . . . . . . . . 9
5424, 36subge02d 10169 . . . . . . . . 9
5553, 54mpbid 210 . . . . . . . 8
5613nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
5748, 56zsubcld 10999 . . . . . . . . 9
58 eluz 11123 . . . . . . . . 9
5957, 48, 58syl2anc 661 . . . . . . . 8
6055, 59mpbird 232 . . . . . . 7
61 pcfac 14418 . . . . . . 7
629, 60, 1, 61syl3anc 1228 . . . . . 6
63 elfzuz3 11714 . . . . . . . 8
64633ad2ant2 1018 . . . . . . 7
65 pcfac 14418 . . . . . . 7
6613, 64, 1, 65syl3anc 1228 . . . . . 6
6762, 66oveq12d 6314 . . . . 5
6811nnzd 10993 . . . . . 6
6911nnne0d 10605 . . . . . 6
7015nnzd 10993 . . . . . 6
7115nnne0d 10605 . . . . . 6
72 pcmul 14375 . . . . . 6
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1237 . . . . 5
7422, 41, 45fsumadd 13561 . . . . 5
7567, 73, 743eqtr4d 2508 . . . 4
7652, 75oveq12d 6314 . . 3
7747, 76eqtr4d 2501 . 2
7818, 21, 773eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfl 11927   cexp 12166   cfa 12353   cbc 12380  sum_csu 13508   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pcbcctr  23551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator