MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcdvdsb Unicode version

Theorem pcdvdsb 14392
Description: divides if and only if is at most the count of . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcdvdsb

Proof of Theorem pcdvdsb
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . 4
21breq2d 4464 . . 3
3 breq2 4456 . . 3
42, 3bibi12d 321 . 2
5 simpl3 1001 . . . . . . 7
65nn0zd 10992 . . . . . 6
7 simpl1 999 . . . . . . . 8
8 simpl2 1000 . . . . . . . 8
9 simpr 461 . . . . . . . 8
10 pczcl 14372 . . . . . . . 8
117, 8, 9, 10syl12anc 1226 . . . . . . 7
1211nn0zd 10992 . . . . . 6
13 eluz 11123 . . . . . 6
146, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5
15 prmnn 14220 . . . . . . . 8
167, 15syl 16 . . . . . . 7
1716nnzd 10993 . . . . . 6
18 dvdsexp 14042 . . . . . . 7
19183expia 1198 . . . . . 6
2017, 5, 19syl2anc 661 . . . . 5
2114, 20sylbird 235 . . . 4
22 pczdvds 14386 . . . . . 6
237, 8, 9, 22syl12anc 1226 . . . . 5
24 nnexpcl 12179 . . . . . . . . . 10
2515, 24sylan 471 . . . . . . . . 9
26253adant2 1015 . . . . . . . 8
2726nnzd 10993 . . . . . . 7
2827adantr 465 . . . . . 6
2916, 11nnexpcld 12331 . . . . . . 7
3029nnzd 10993 . . . . . 6
31 dvdstr 14018 . . . . . 6
3228, 30, 8, 31syl3anc 1228 . . . . 5
3323, 32mpan2d 674 . . . 4
3421, 33syld 44 . . 3
35 nn0re 10829 . . . . . . 7
36 nn0re 10829 . . . . . . 7
37 ltnle 9685 . . . . . . 7
3835, 36, 37syl2an 477 . . . . . 6
39 nn0ltp1le 10946 . . . . . 6
4038, 39bitr3d 255 . . . . 5
4111, 5, 40syl2anc 661 . . . 4
42 peano2nn0 10861 . . . . . . . . 9
4311, 42syl 16 . . . . . . . 8
4443nn0zd 10992 . . . . . . 7
45 eluz 11123 . . . . . . 7
4644, 6, 45syl2anc 661 . . . . . 6
47 dvdsexp 14042 . . . . . . . 8
48473expia 1198 . . . . . . 7
4917, 43, 48syl2anc 661 . . . . . 6
5046, 49sylbird 235 . . . . 5
51 pczndvds 14388 . . . . . . . 8
527, 8, 9, 51syl12anc 1226 . . . . . . 7
5316, 43nnexpcld 12331 . . . . . . . . 9
5453nnzd 10993 . . . . . . . 8
55 dvdstr 14018 . . . . . . . 8
5654, 28, 8, 55syl3anc 1228 . . . . . . 7
5752, 56mtod 177 . . . . . 6
58 imnan 422 . . . . . 6
5957, 58sylibr 212 . . . . 5
6050, 59syld 44 . . . 4
6141, 60sylbid 215 . . 3
6234, 61impcon4bid 205 . 2
63363ad2ant3 1019 . . . . . 6
6463rexrd 9664 . . . . 5
65 pnfge 11368 . . . . 5
6664, 65syl 16 . . . 4
67 pc0 14378 . . . . 5
68673ad2ant1 1017 . . . 4
6966, 68breqtrrd 4478 . . 3
70 dvds0 13999 . . . 4
7127, 70syl 16 . . 3
7269, 712thd 240 . 2
734, 62, 72pm2.61ne 2772 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pcelnn  14393  pcidlem  14395  pcdvdstr  14399  pcgcd1  14400  pcfac  14418  pockthlem  14423  pockthg  14424  prmreclem2  14435  sylow1lem1  16618  sylow1lem3  16620  sylow1lem5  16622  ablfac1c  17122  ablfac1eu  17124  issqf  23410  vmasum  23491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator