MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Unicode version

Theorem pceulem 14369
Description: Lemma for pceu 14370. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1
pcval.2
pceu.3
pceu.4
pceu.5
pceu.6
pceu.7
pceu.8
pceu.9
pceu.10
Assertion
Ref Expression
pceulem
Distinct variable groups:   , , , , ,N   P, , , , ,   S, ,   , ,

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11
21simprd 463 . . . . . . . . . 10
32nncnd 10577 . . . . . . . . 9
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11
54simpld 459 . . . . . . . . . 10
65zcnd 10995 . . . . . . . . 9
73, 6mulcomd 9638 . . . . . . . 8
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
114simprd 463 . . . . . . . . . . 11
1211nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
131simpld 459 . . . . . . . . . . 11
1413zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
1511nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
162nnne0d 10605 . . . . . . . . . 10
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 10391 . . . . . . . . 9
1810, 17mpbid 210 . . . . . . . 8
197, 18eqtrd 2498 . . . . . . 7
2019breq2d 4464 . . . . . 6
2120rabbidv 3101 . . . . 5
22 oveq2 6304 . . . . . . 7
2322breq1d 4462 . . . . . 6
2423cbvrabv 3108 . . . . 5
2522breq1d 4462 . . . . . 6
2625cbvrabv 3108 . . . . 5
2721, 24, 263eqtr4g 2523 . . . 4
2827supeq1d 7926 . . 3
29 pceu.5 . . . 4
302nnzd 10993 . . . 4
31 pceu.6 . . . . 5
3212, 15div0d 10344 . . . . . . . 8
33 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
3433eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
368eqeq1d 2459 . . . . . . 7
3735, 36sylibrd 234 . . . . . 6
3837necon3d 2681 . . . . 5
3931, 38mpd 15 . . . 4
40 pcval.2 . . . . 5
41 pceu.3 . . . . 5
42 eqid 2457 . . . . 5
4340, 41, 42pcpremul 14367 . . . 4
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1237 . . 3
453, 16div0d 10344 . . . . . . . 8
46 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4746eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
4845, 47syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
499eqeq1d 2459 . . . . . . 7
5048, 49sylibrd 234 . . . . . 6
5150necon3d 2681 . . . . 5
5231, 51mpd 15 . . . 4
5311nnzd 10993 . . . 4
54 pcval.1 . . . . 5
55 pceu.4 . . . . 5
56 eqid 2457 . . . . 5
5754, 55, 56pcpremul 14367 . . . 4
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1237 . . 3
5928, 44, 583eqtr4d 2508 . 2
60 prmuz2 14235 . . . . . 6
6129, 60syl 16 . . . . 5
62 eqid 2457 . . . . . . 7
6362, 40pcprecl 14363 . . . . . 6
6463simpld 459 . . . . 5
6561, 30, 16, 64syl12anc 1226 . . . 4
6665nn0cnd 10879 . . 3
67 eqid 2457 . . . . . . 7
6867, 41pcprecl 14363 . . . . . 6
6968simpld 459 . . . . 5
7061, 5, 39, 69syl12anc 1226 . . . 4
7170nn0cnd 10879 . . 3
72 eqid 2457 . . . . . . 7
7372, 54pcprecl 14363 . . . . . 6
7473simpld 459 . . . . 5
7561, 13, 52, 74syl12anc 1226 . . . 4
7675nn0cnd 10879 . . 3
77 eqid 2457 . . . . . . 7
7877, 55pcprecl 14363 . . . . . 6
7978simpld 459 . . . . 5
8061, 53, 15, 79syl12anc 1226 . . . 4
8180nn0cnd 10879 . . 3
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 10005 . 2
8359, 82mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217
This theorem is referenced by:  pceu  14370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
  Copyright terms: Public domain W3C validator