Theorem pcexp 14383

Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcexp

Proof of Theorem pcexp

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . 5
2	1	oveq2d 6312	. . . 4
3		oveq1 6303	. . . 4
4	2, 3	eqeq12d 2479	. . 3
5		oveq2 6304	. . . . 5
6	5	oveq2d 6312	. . . 4
7		oveq1 6303	. . . 4
8	6, 7	eqeq12d 2479	. . 3
9		oveq2 6304	. . . . 5
10	9	oveq2d 6312	. . . 4
11		oveq1 6303	. . . 4
12	10, 11	eqeq12d 2479	. . 3
13		oveq2 6304	. . . . 5
14	13	oveq2d 6312	. . . 4
15		oveq1 6303	. . . 4
16	14, 15	eqeq12d 2479	. . 3
17		oveq2 6304	. . . . 5
18	17	oveq2d 6312	. . . 4
19		oveq1 6303	. . . 4
20	18, 19	eqeq12d 2479	. . 3
21		pc1 14379	. . . . 5
22	21	adantr 465	. . . 4
23		qcn 11225	. . . . . . 7
24	23	ad2antrl 727	. . . . . 6
25	24	exp0d 12304	. . . . 5
26	25	oveq2d 6312	. . . 4
27		pcqcl 14380	. . . . . 6
28	27	zcnd 10995	. . . . 5
29	28	mul02d 9799	. . . 4
30	22, 26, 29	3eqtr4d 2508	. . 3
31		oveq1 6303	. . . . 5
32		expp1 12173	. . . . . . . . 9
33	24, 32	sylan 471	. . . . . . . 8
34	33	oveq2d 6312	. . . . . . 7
35		simpll 753	. . . . . . . 8
36		simplrl 761	. . . . . . . . 9
37		simplrr 762	. . . . . . . . 9
38		nn0z 10912	. . . . . . . . . 10
39	38	adantl 466	. . . . . . . . 9
40		qexpclz 12187	. . . . . . . . 9
41	36, 37, 39, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
42	24	adantr 465	. . . . . . . . 9
43	42, 37, 39	expne0d 12316	. . . . . . . 8
44		pcqmul 14377	. . . . . . . 8
45	35, 41, 43, 36, 37, 44	syl122anc 1237	. . . . . . 7
46	34, 45	eqtrd 2498	. . . . . 6
47		nn0cn 10830	. . . . . . . . 9
48	47	adantl 466	. . . . . . . 8
49		1cnd 9633	. . . . . . . 8
50	28	adantr 465	. . . . . . . 8
51	48, 49, 50	adddird 9642	. . . . . . 7
52	50	mulid2d 9635	. . . . . . . 8
53	52	oveq2d 6312	. . . . . . 7
54	51, 53	eqtrd 2498	. . . . . 6
55	46, 54	eqeq12d 2479	. . . . 5
56	31, 55	syl5ibr 221	. . . 4
57	56	ex 434	. . 3
58		negeq 9835	. . . . 5
59		nnnn0 10827	. . . . . . . . 9
60		expneg 12174	. . . . . . . . 9
61	24, 59, 60	syl2an 477	. . . . . . . 8
62	61	oveq2d 6312	. . . . . . 7
63		simpll 753	. . . . . . . 8
64	59, 41	sylan2 474	. . . . . . . 8
65	59, 43	sylan2 474	. . . . . . . 8
66		pcrec 14382	. . . . . . . 8
67	63, 64, 65, 66	syl12anc 1226	. . . . . . 7
68	62, 67	eqtrd 2498	. . . . . 6
69		nncn 10569	. . . . . . 7
70		mulneg1 10018	. . . . . . 7
71	69, 28, 70	syl2anr 478	. . . . . 6
72	68, 71	eqeq12d 2479	. . . . 5
73	58, 72	syl5ibr 221	. . . 4
74	73	ex 434	. . 3
75	4, 8, 12, 16, 20, 30, 57, 74	zindd 10990	. 2
76	75	3impia 1193	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cq 11211  cexp 12166  cprime 14217  cpc 14360

This theorem is referenced by:  qexpz  14420  expnprm  14421  dchrisum0flblem1  23693  dchrisum0flblem2  23694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361