MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclem Unicode version

Theorem pclem 14362
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1
Assertion
Ref Expression
pclem
Distinct variable groups:   , ,   , , ,N   P, , ,

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5
2 ssrab2 3584 . . . . 5
31, 2eqsstri 3533 . . . 4
4 nn0ssz 10910 . . . 4
53, 4sstri 3512 . . 3
65a1i 11 . 2
7 0nn0 10835 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 eluzelcn 11121 . . . . . . 7
109adantr 465 . . . . . 6
1110exp0d 12304 . . . . 5
12 1dvds 13998 . . . . . 6
1312ad2antrl 727 . . . . 5
1411, 13eqbrtrd 4472 . . . 4
15 oveq2 6304 . . . . . 6
1615breq1d 4462 . . . . 5
1716, 1elrab2 3259 . . . 4
188, 14, 17sylanbrc 664 . . 3
19 ne0i 3790 . . 3
2018, 19syl 16 . 2
21 nnssz 10909 . . 3
22 zcn 10894 . . . . . . 7
2322abscld 13267 . . . . . 6
2423ad2antrl 727 . . . . 5
25 eluzelre 11120 . . . . . 6
2625adantr 465 . . . . 5
27 eluz2b2 11183 . . . . . . 7
2827simprbi 464 . . . . . 6
2928adantr 465 . . . . 5
30 expnbnd 12295 . . . . 5
3124, 26, 29, 30syl3anc 1228 . . . 4
32 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
3534, 1elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13
3632, 35sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
3736simprd 463 . . . . . . . . . . 11
38 eluz2nn 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
4036simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14
4139, 40nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . . 13
4241nnzd 10993 . . . . . . . . . . . 12
43 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12
44 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12
45 dvdsleabs 14032 . . . . . . . . . . . 12
4642, 43, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
4737, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10
4841nnred 10576 . . . . . . . . . . 11
4924adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5025ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
51 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . . 13
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
5350, 52reexpcld 12327 . . . . . . . . . . 11
54 lelttr 9696 . . . . . . . . . . 11
5548, 49, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
5647, 55mpand 675 . . . . . . . . 9
5740nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
58 nnz 10911 . . . . . . . . . . 11
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
6028ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
6150, 57, 59, 60ltexp2d 12339 . . . . . . . . 9
6256, 61sylibrd 234 . . . . . . . 8
6340nn0red 10878 . . . . . . . . 9
64 nnre 10568 . . . . . . . . . 10
6564ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
66 ltle 9694 . . . . . . . . 9
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8
6862, 67syld 44 . . . . . . 7
6968anassrs 648 . . . . . 6
7069ralrimdva 2875 . . . . 5
7170reximdva 2932 . . . 4
7231, 71mpd 15 . . 3
73 ssrexv 3564 . . 3
7421, 72, 73mpsyl 63 . 2
756, 20, 743jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cle 9650   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cabs 13067   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  pcprecl  14363  pcprendvds  14364  pcpremul  14367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator