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Theorem pcmpt 14411
Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1
pcmpt.2
pcmpt.3
pcmpt.4
pcmpt.5
Assertion
Ref Expression
pcmpt
Distinct variable groups:   ,   P,

Proof of Theorem pcmpt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.3 . 2
2 fveq2 5871 . . . . . 6
32oveq2d 6312 . . . . 5
4 breq2 4456 . . . . . 6
54ifbid 3963 . . . . 5
63, 5eqeq12d 2479 . . . 4
76imbi2d 316 . . 3
8 fveq2 5871 . . . . . 6
98oveq2d 6312 . . . . 5
10 breq2 4456 . . . . . 6
1110ifbid 3963 . . . . 5
129, 11eqeq12d 2479 . . . 4
1312imbi2d 316 . . 3
14 fveq2 5871 . . . . . 6
1514oveq2d 6312 . . . . 5
16 breq2 4456 . . . . . 6
1716ifbid 3963 . . . . 5
1815, 17eqeq12d 2479 . . . 4
1918imbi2d 316 . . 3
20 fveq2 5871 . . . . . 6
2120oveq2d 6312 . . . . 5
22 breq2 4456 . . . . . 6
2322ifbid 3963 . . . . 5
2421, 23eqeq12d 2479 . . . 4
2524imbi2d 316 . . 3
26 pcmpt.4 . . . 4
27 1z 10919 . . . . . . . . 9
28 seq1 12120 . . . . . . . . 9
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8
30 1nn 10572 . . . . . . . . 9
31 1nprm 14222 . . . . . . . . . . . 12
32 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
3331, 32mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11
3433iffalsed 3952 . . . . . . . . . 10
35 pcmpt.1 . . . . . . . . . 10
36 1ex 9612 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 36fvmpt 5956 . . . . . . . . 9
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8
3929, 38eqtri 2486 . . . . . . 7
4039oveq2i 6307 . . . . . 6
41 pc1 14379 . . . . . 6
4240, 41syl5eq 2510 . . . . 5
43 prmgt1 14236 . . . . . . 7
44 1re 9616 . . . . . . . 8
45 prmuz2 14235 . . . . . . . . 9
46 eluzelre 11120 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8
48 ltnle 9685 . . . . . . . 8
4944, 47, 48sylancr 663 . . . . . . 7
5043, 49mpbid 210 . . . . . 6
5150iffalsed 3952 . . . . 5
5242, 51eqtr4d 2501 . . . 4
5326, 52syl 16 . . 3
5426adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
55 pcmpt.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5635, 55pcmptcl 14410 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 peano2nn 10573 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15
6057, 58, 59syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
6254, 61pccld 14374 . . . . . . . . . . . 12
6362nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . 11
6463addid2d 9802 . . . . . . . . . 10
6558ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
66 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766, 36ifex 4010 . . . . . . . . . . . . . 14
6867csbex 4585 . . . . . . . . . . . . 13
6935fvmpts 5958 . . . . . . . . . . . . . 14
70 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7572, 73, 74nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7771, 75, 76nfif 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8278, 81ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15
8370, 77, 82csbief 3459 . . . . . . . . . . . . . 14
8469, 83syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13
8565, 68, 84sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
86 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
8786, 54eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13
8887iftrued 3949 . . . . . . . . . . . 12
8986csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . . . 14
90 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 pcmpt.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91csbiegf 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15
9354, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9489, 93eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
9586, 94oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
9685, 88, 953eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11
9796oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
9891eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
9998rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13
10026, 55, 99sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
101100adantr 465 . . . . . . . . . . 11
102 pcidlem 14395 . . . . . . . . . . 11
10354, 101, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
10464, 97, 1033eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
105 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
106105eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
107104, 106syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
108 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . 13
109108ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
110 ltp1 10405 . . . . . . . . . . . . 13
111 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . . . 14
112 ltnle 9685 . . . . . . . . . . . . . 14
113111, 112mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13
114110, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
115109, 114syl 16 . . . . . . . . . . 11
11686breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
117115, 116mtbid 300 . . . . . . . . . 10
118117iffalsed 3952 . . . . . . . . 9
119118eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
120 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
121 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . 14
122120, 121syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13
123 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . . 13
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . 12
125124oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
12626adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
12756simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
128127ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . 13
129 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . 14
130 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . . 14
131129, 130jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
132128, 131syl 16 . . . . . . . . . . . 12
133 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . 14
134 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . . 14
135133, 134jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
13660, 135syl 16 . . . . . . . . . . . 12
137 pcmul 14375 . . . . . . . . . . . 12
138126, 132, 136, 137syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
139125, 138eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
140139adantrr 716 . . . . . . . . 9
141 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . . . . 15
14226, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
143142nnred 10576 . . . . . . . . . . . . 13
144143adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
145144leidd 10144 . . . . . . . . . . 11
146145, 86breqtrrd 4478 . . . . . . . . . 10
147146iftrued 3949 . . . . . . . . 9
148140, 147eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
149107, 119, 1483imtr4d 268 . . . . . . 7
150149expr 615 . . . . . 6
151139adantrr 716 . . . . . . . . . 10
152 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152necomd 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15
15426ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15774nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15880eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159157, 158rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160155, 156, 159sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161 prmdvdsexpr 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162154, 155, 160, 161syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162necon3ad 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15
164153, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
16558ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166165, 68, 84sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168166, 167sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15
169168breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . 14
170164, 169mtbird 301 . . . . . . . . . . . . 13
17157adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172171, 165, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
174 pceq0 14394 . . . . . . . . . . . . . 14
175154, 173, 174syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
176170, 175mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
177 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15
178166, 177sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . 14
179178oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
18026, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
181180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
182179, 181eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
183176, 182pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . 11
184183oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
18526adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
186128adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
187185, 186pccld 14374 . . . . . . . . . . . 12
188187nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . 11
189188addid1d 9801 . . . . . . . . . 10
190151, 184, 1893eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
191142adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
192191nnred 10576 . . . . . . . . . . . 12
193165nnred 10576 . . . . . . . . . . . 12
194192, 193ltlend 9751 . . . . . . . . . . 11
195 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
196 nnleltp1 10943 . . . . . . . . . . . 12
197191, 195, 196syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
198 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
199198biantrud 507 . . . . . . . . . . 11
200194, 197, 1993bitr4rd 286 . . . . . . . . . 10
201200ifbid 3963 . . . . . . . . 9
202190, 201eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
203202biimprd 223 . . . . . . 7
204203expr 615 . . . . . 6
205150, 204pm2.61dne 2774 . . . . 5
206205expcom 435 . . . 4
207206a2d 26 . . 3
2087, 13, 19, 25, 53, 207nnind 10579 . 2
2091, 208mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  [_csb 3434  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pcmpt2  14412  pcprod  14414  1arithlem4  14444  chtublem  23486  bposlem3  23561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
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