Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Unicode version

Theorem pcmpt2 14412
 Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1
pcmpt.2
pcmpt.3
pcmpt.4
pcmpt.5
pcmpt2.6
Assertion
Ref Expression
pcmpt2
Distinct variable groups:   ,   P,

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3
2 pcmpt.1 . . . . . . 7
3 pcmpt.2 . . . . . . 7
42, 3pcmptcl 14410 . . . . . 6
54simprd 463 . . . . 5
6 pcmpt.3 . . . . . 6
7 pcmpt2.6 . . . . . 6
8 eluznn 11181 . . . . . 6
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5
105, 9ffvelrnd 6032 . . . 4
1110nnzd 10993 . . 3
1210nnne0d 10605 . . 3
135, 6ffvelrnd 6032 . . 3
14 pcdiv 14376 . . 3
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1233 . 2
16 pcmpt.5 . . . 4
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 14411 . . 3
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 14411 . . 3
1917, 18oveq12d 6314 . 2
2016eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
2120rspcv 3206 . . . . . . . 8
221, 3, 21sylc 60 . . . . . . 7
2322nn0cnd 10879 . . . . . 6
2423subidd 9942 . . . . 5
2524adantr 465 . . . 4
26 prmnn 14220 . . . . . . . . . 10
271, 26syl 16 . . . . . . . . 9
2827nnred 10576 . . . . . . . 8
2928adantr 465 . . . . . . 7
306nnred 10576 . . . . . . . 8
3130adantr 465 . . . . . . 7
329nnred 10576 . . . . . . . 8
3332adantr 465 . . . . . . 7
34 simpr 461 . . . . . . 7
35 eluzle 11122 . . . . . . . . 9
367, 35syl 16 . . . . . . . 8
3736adantr 465 . . . . . . 7
3829, 31, 33, 34, 37letrd 9760 . . . . . 6
3938iftrued 3949 . . . . 5
40 iftrue 3947 . . . . . 6
4140adantl 466 . . . . 5
4239, 41oveq12d 6314 . . . 4
43 simpr 461 . . . . . 6
4443, 34nsyl3 119 . . . . 5
4544iffalsed 3952 . . . 4
4625, 42, 453eqtr4d 2508 . . 3
47 iffalse 3950 . . . . . 6
4847oveq2d 6312 . . . . 5
49 0cn 9609 . . . . . . 7
50 ifcl 3983 . . . . . . 7
5123, 49, 50sylancl 662 . . . . . 6
5251subid1d 9943 . . . . 5
5348, 52sylan9eqr 2520 . . . 4
54 simpr 461 . . . . . 6
5554biantrud 507 . . . . 5
5655ifbid 3963 . . . 4
5753, 56eqtrd 2498 . . 3
5846, 57pm2.61dan 791 . 2
5915, 19, 583eqtrd 2502 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110  seq`cseq 12107   cexp 12166   cprime 14217   cpc 14360 This theorem is referenced by:  pcmptdvds  14413  bposlem6  23564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
 Copyright terms: Public domain W3C validator