Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds Unicode version

Theorem pcmptdvds 14413
 Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1
pcmpt.2
pcmpt.3
pcmptdvds.3
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds

Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9
2 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
3 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
43nfel1 2635 . . . . . . . . . 10
5 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
65eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
72, 4, 6cbvral 3080 . . . . . . . . 9
81, 7sylib 196 . . . . . . . 8
9 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
109eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
1110rspcv 3206 . . . . . . . 8
128, 11mpan9 469 . . . . . . 7
1312nn0ge0d 10880 . . . . . 6
14 0le0 10650 . . . . . 6
15 breq2 4456 . . . . . . 7
16 breq2 4456 . . . . . . 7
1715, 16ifboth 3977 . . . . . 6
1813, 14, 17sylancl 662 . . . . 5
19 pcmpt.1 . . . . . . 7
20 nfcv 2619 . . . . . . . 8
21 nfv 1707 . . . . . . . . 9
22 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
23 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
2422, 23, 3nfov 6322 . . . . . . . . 9
25 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
2621, 24, 25nfif 3970 . . . . . . . 8
27 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
28 id 22 . . . . . . . . . 10
2928, 5oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
3027, 29ifbieq1d 3964 . . . . . . . 8
3120, 26, 30cbvmpt 4542 . . . . . . 7
3219, 31eqtri 2486 . . . . . 6
338adantr 465 . . . . . 6
34 pcmpt.3 . . . . . . 7
3534adantr 465 . . . . . 6
36 simpr 461 . . . . . 6
37 pcmptdvds.3 . . . . . . 7
3837adantr 465 . . . . . 6
3932, 33, 35, 36, 9, 38pcmpt2 14412 . . . . 5
4018, 39breqtrrd 4478 . . . 4
4140ralrimiva 2871 . . 3
4219, 1pcmptcl 14410 . . . . . . . 8
4342simprd 463 . . . . . . 7
44 eluznn 11181 . . . . . . . 8
4534, 37, 44syl2anc 661 . . . . . . 7
4643, 45ffvelrnd 6032 . . . . . 6
4746nnzd 10993 . . . . 5
4843, 34ffvelrnd 6032 . . . . 5
49 znq 11215 . . . . 5
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . 4
51 pcz 14404 . . . 4
5250, 51syl 16 . . 3
5341, 52mpbird 232 . 2
5448nnzd 10993 . . 3
5548nnne0d 10605 . . 3
56 dvdsval2 13989 . . 3
5754, 55, 47, 56syl3anc 1228 . 2
5853, 57mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  [_csb 3434  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cq 11211  seq`cseq 12107   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360 This theorem is referenced by:  bposlem6  23564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
 Copyright terms: Public domain W3C validator