Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpremul Unicode version

Theorem pcpremul 14367
 Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of is essential for this property; but (4 (2 2))=1=/=2 (4 2)=0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcpremul.1
pcpremul.2
pcpremul.3
Assertion
Ref Expression
pcpremul
Distinct variable groups:   ,M   ,N   P,

Proof of Theorem pcpremul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 14235 . . . . . . 7
213ad2ant1 1017 . . . . . 6
3 zmulcl 10937 . . . . . . . 8
43ad2ant2r 746 . . . . . . 7
543adant1 1014 . . . . . 6
6 zcn 10894 . . . . . . . . 9
76anim1i 568 . . . . . . . 8
8 zcn 10894 . . . . . . . . 9
98anim1i 568 . . . . . . . 8
10 mulne0 10216 . . . . . . . 8
117, 9, 10syl2an 477 . . . . . . 7
12113adant1 1014 . . . . . 6
13 eqid 2457 . . . . . . 7
1413pclem 14362 . . . . . 6
152, 5, 12, 14syl12anc 1226 . . . . 5
1615simp1d 1008 . . . 4
1715simp3d 1010 . . . 4
18 simp2l 1022 . . . . . . . . 9
19 simp2r 1023 . . . . . . . . 9
20 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
21 pcpremul.1 . . . . . . . . . 10
2220, 21pcprecl 14363 . . . . . . . . 9
232, 18, 19, 22syl12anc 1226 . . . . . . . 8
2423simpld 459 . . . . . . 7
25 simp3l 1024 . . . . . . . . 9
26 simp3r 1025 . . . . . . . . 9
27 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
28 pcpremul.2 . . . . . . . . . 10
2927, 28pcprecl 14363 . . . . . . . . 9
302, 25, 26, 29syl12anc 1226 . . . . . . . 8
3130simpld 459 . . . . . . 7
3224, 31nn0addcld 10881 . . . . . 6
33 prmnn 14220 . . . . . . . . . . 11
34333ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
3534nncnd 10577 . . . . . . . . 9
3635, 31, 24expaddd 12312 . . . . . . . 8
3723simprd 463 . . . . . . . . 9
3834, 24nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . 11
3938nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
4034, 31nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . 11
4140nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
42 dvdsmulc 14011 . . . . . . . . . 10
4339, 18, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
4437, 43mpd 15 . . . . . . . 8
4536, 44eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
4630simprd 463 . . . . . . . 8
47 dvdscmul 14010 . . . . . . . . 9
4841, 25, 18, 47syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4946, 48mpd 15 . . . . . . 7
5034, 32nnexpcld 12331 . . . . . . . . 9
5150nnzd 10993 . . . . . . . 8
5218, 41zmulcld 11000 . . . . . . . 8
53 dvdstr 14018 . . . . . . . 8
5451, 52, 5, 53syl3anc 1228 . . . . . . 7
5545, 49, 54mp2and 679 . . . . . 6
56 oveq2 6304 . . . . . . . 8
5756breq1d 4462 . . . . . . 7
5857elrab 3257 . . . . . 6
5932, 55, 58sylanbrc 664 . . . . 5
60 oveq2 6304 . . . . . . 7
6160breq1d 4462 . . . . . 6
6261cbvrabv 3108 . . . . 5
6359, 62syl6eleq 2555 . . . 4
64 suprzub 11202 . . . 4
6516, 17, 63, 64syl3anc 1228 . . 3
66 pcpremul.3 . . 3
6765, 66syl6breqr 4492 . 2
6820, 21pcprendvds2 14365 . . . . . 6
692, 18, 19, 68syl12anc 1226 . . . . 5
7027, 28pcprendvds2 14365 . . . . . 6
712, 25, 26, 70syl12anc 1226 . . . . 5
72 ioran 490 . . . . 5
7369, 71, 72sylanbrc 664 . . . 4
74 simp1 996 . . . . 5
7538nnne0d 10605 . . . . . . 7
76 dvdsval2 13989 . . . . . . 7
7739, 75, 18, 76syl3anc 1228 . . . . . 6
7837, 77mpbid 210 . . . . 5
7940nnne0d 10605 . . . . . . 7
80 dvdsval2 13989 . . . . . . 7
8141, 79, 25, 80syl3anc 1228 . . . . . 6
8246, 81mpbid 210 . . . . 5
83 euclemma 14249 . . . . 5
8474, 78, 82, 83syl3anc 1228 . . . 4
8573, 84mtbird 301 . . 3
8613, 66pcprecl 14363 . . . . . . 7
872, 5, 12, 86syl12anc 1226 . . . . . 6
8887simpld 459 . . . . 5
89 nn0ltp1le 10946 . . . . 5
9032, 88, 89syl2anc 661 . . . 4
9134nnzd 10993 . . . . . . 7
92 peano2nn0 10861 . . . . . . . 8
9332, 92syl 16 . . . . . . 7
94 dvdsexp 14042 . . . . . . . 8
95943expia 1198 . . . . . . 7
9691, 93, 95syl2anc 661 . . . . . 6
9787simprd 463 . . . . . . 7
9834, 93nnexpcld 12331 . . . . . . . . 9
9998nnzd 10993 . . . . . . . 8
10034, 88nnexpcld 12331 . . . . . . . . 9
101100nnzd 10993 . . . . . . . 8
102 dvdstr 14018 . . . . . . . 8
10399, 101, 5, 102syl3anc 1228 . . . . . . 7
10497, 103mpan2d 674 . . . . . 6
10596, 104syld 44 . . . . 5
10693nn0zd 10992 . . . . . 6
10788nn0zd 10992 . . . . . 6
108 eluz 11123 . . . . . 6
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . 5
11035, 32expp1d 12311 . . . . . . 7
11118zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
11225zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
113111, 112mulcld 9637 . . . . . . . . 9
11450nncnd 10577 . . . . . . . . 9
11550nnne0d 10605 . . . . . . . . 9
116113, 114, 115divcan2d 10347 . . . . . . . 8
11736oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
11838nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
11940nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
120111, 118, 112, 119, 75, 79divmuldivd 10386 . . . . . . . . . 10
121117, 120eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
122121oveq2d 6312 . . . . . . . 8
123116, 122eqtr3d 2500 . . . . . . 7
124110, 123breq12d 4465 . . . . . 6
12578, 82zmulcld 11000 . . . . . . 7
126 dvdscmulr 14012 . . . . . . 7
12791, 125, 51, 115, 126syl112anc 1232 . . . . . 6
128124, 127bitrd 253 . . . . 5
129105, 109, 1283imtr3d 267 . . . 4
13090, 129sylbid 215 . . 3
13185, 130mtod 177 . 2
13232nn0red 10878 . . 3
13388nn0red 10878 . . 3
134132, 133eqleltd 9750 . 2
13567, 131, 134mpbir2and 922 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2`c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217 This theorem is referenced by:  pceulem  14369  pcmul  14375 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
 Copyright terms: Public domain W3C validator