Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprod Unicode version

Theorem pcprod 14414
 Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1
Assertion
Ref Expression
pcprod
Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6
2 pccl 14373 . . . . . . . . 9
32ancoms 453 . . . . . . . 8
43ralrimiva 2871 . . . . . . 7
54adantl 466 . . . . . 6
6 simpr 461 . . . . . 6
7 simpl 457 . . . . . 6
8 oveq1 6303 . . . . . 6
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 14411 . . . . 5
10 iftrue 3947 . . . . . . 7
1110adantl 466 . . . . . 6
12 iffalse 3950 . . . . . . . 8
1312adantl 466 . . . . . . 7
14 prmz 14221 . . . . . . . . . 10
15 dvdsle 14031 . . . . . . . . . 10
1614, 15sylan 471 . . . . . . . . 9
1716con3dimp 441 . . . . . . . 8
18 pceq0 14394 . . . . . . . . 9
1918adantr 465 . . . . . . . 8
2017, 19mpbird 232 . . . . . . 7
2113, 20eqtr4d 2501 . . . . . 6
2211, 21pm2.61dan 791 . . . . 5
239, 22eqtrd 2498 . . . 4
2423ancoms 453 . . 3
2524ralrimiva 2871 . 2
261, 4pcmptcl 14410 . . . . . 6
2726simprd 463 . . . . 5
28 ffvelrn 6029 . . . . 5
2927, 28mpancom 669 . . . 4
3029nnnn0d 10877 . . 3
31 nnnn0 10827 . . 3
32 pc11 14403 . . 3
3330, 31, 32syl2anc 661 . 2
3425, 33mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889  seq`cseq 12107   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360 This theorem is referenced by:  pclogsum  23490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
 Copyright terms: Public domain W3C validator