Theorem pcqmul 14377

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcqmul

Proof of Theorem pcqmul

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1022	. . 3
2		elq 11213	. . 3
3	1, 2	sylib 196	. 2
4		simp3l 1024	. . 3
5		elq 11213	. . 3
6	4, 5	sylib 196	. 2
7		reeanv 3025	. . 3
8		reeanv 3025	. . . . 5
9		simp2r 1023	. . . . . . . . 9
10		simp3r 1025	. . . . . . . . 9
11	9, 10	jca 532	. . . . . . . 8
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7
13		simp1 996	. . . . . . . 8
14		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14
15	14	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . 13
16	14	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . . . 13
17	15, 16	div0d 10344	. . . . . . . . . . . 12
18		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12
20	17, 19	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11
21	20	necon3d 2681	. . . . . . . . . 10
22		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14
23	22	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . 13
24	22	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . . . 13
25	23, 24	div0d 10344	. . . . . . . . . . . 12
26		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12
28	25, 27	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11
29	28	necon3d 2681	. . . . . . . . . 10
30		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14
31		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . 15
32		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	31, 32	zmulcld 11000	. . . . . . . . . . . . . 14
34	31	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	32	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . 15
36		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . 15
37		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	34, 35, 36, 37	mulne0d 10226	. . . . . . . . . . . . . 14
39	14	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	22	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	39, 40	nnmulcld 10608	. . . . . . . . . . . . . 14
42		pcdiv 14376	. . . . . . . . . . . . . 14
43	30, 33, 38, 41, 42	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13
44		pcmul 14375	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	30, 31, 36, 32, 37, 44	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . 14
46	39	nnzd 10993	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	16	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	40	nnzd 10993	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	24	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		pcmul 14375	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	30, 46, 47, 48, 49, 50	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . 14
52	45, 51	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13
53		pczcl 14372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	30, 31, 36, 53	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	54	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . . . 14
56		pczcl 14372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	30, 32, 37, 56	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	57	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . . . 14
59	30, 39	pccld 14374	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	59	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . . . 14
61	30, 40	pccld 14374	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . . . . 14
63	55, 58, 60, 62	addsub4d 10001	. . . . . . . . . . . . 13
64	43, 52, 63	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . 12
65	15	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14
66	23	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14
67	34, 65, 35, 66, 47, 49	divmuldivd 10386	. . . . . . . . . . . . 13
68	67	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
69		pcdiv 14376	. . . . . . . . . . . . . 14
70	30, 31, 36, 39, 69	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13
71		pcdiv 14376	. . . . . . . . . . . . . 14
72	30, 32, 37, 40, 71	syl121anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13
73	70, 72	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12
74	64, 68, 73	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11
75	74	expr 615	. . . . . . . . . 10
76	21, 29, 75	syl2and 483	. . . . . . . . 9
77		neeq1 2738	. . . . . . . . . . 11
78		neeq1 2738	. . . . . . . . . . 11
79	77, 78	bi2anan9 873	. . . . . . . . . 10
80		oveq12 6305	. . . . . . . . . . . 12
81	80	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
82		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
83		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
84	82, 83	oveqan12d 6315	. . . . . . . . . . 11
85	81, 84	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10
86	79, 85	imbi12d 320	. . . . . . . . 9
87	76, 86	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8
88	13, 87	sylanl1 650	. . . . . . 7
89	12, 88	mpid 41	. . . . . 6
90	89	rexlimdvva 2956	. . . . 5
91	8, 90	syl5bir 218	. . . 4
92	91	rexlimdvva 2956	. . 3
93	7, 92	syl5bir 218	. 2
94	3, 6, 93	mp2and 679	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cq 11211  cprime 14217  cpc 14360

This theorem is referenced by:  pcqdiv  14381  pcexp  14383  pcaddlem  14407  sylow1lem1  16618  padicabv  23815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361