Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcval Unicode version

Theorem pcval 14368
 Description: The value of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1
pcval.2
Assertion
Ref Expression
pcval
Distinct variable groups:   ,,,,N   P,,,,   ,S   ,

Proof of Theorem pcval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6
21eqeq1d 2459 . . . . 5
3 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
4 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
54breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
65rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . 12
76supeq1d 7926 . . . . . . . . . . 11
8 pcval.1 . . . . . . . . . . 11
97, 8syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10
104breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
1110rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . 12
1211supeq1d 7926 . . . . . . . . . . 11
13 pcval.2 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10
159, 14oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
1615eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
173, 16bi2anan9r 874 . . . . . . 7
18172rexbidv 2975 . . . . . 6
1918iotabidv 5577 . . . . 5
202, 19ifbieq2d 3966 . . . 4
21 df-pc 14361 . . . 4
22 pnfex 11351 . . . . 5
23 iotaex 5573 . . . . 5
2422, 23ifex 4010 . . . 4
2520, 21, 24ovmpt2a 6433 . . 3
26 ifnefalse 3953 . . 3
2725, 26sylan9eq 2518 . 2
2827anasss 647 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  ifcif 3941   class class class wbr 4452  iotacio 5554  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513   cpnf 9646   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cq 11211   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360 This theorem is referenced by:  pczpre  14371  pcdiv  14376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-xr 9653  df-pc 14361
 Copyright terms: Public domain W3C validator