Theorem pcval 14368

Description: The value of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1
pcval.2

Assertion

Ref	Expression
pcval

Distinct variable groups:   ,,,,N   P,,,,   ,S   ,

Proof of Theorem pcval

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . 6
2	1	eqeq1d 2459	. . . . 5
3		eqeq1 2461	. . . . . . . 8
4		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . 13
6	5	rabbidv 3101	. . . . . . . . . . . 12
7	6	supeq1d 7926	. . . . . . . . . . 11
8		pcval.1	. . . . . . . . . . 11
9	7, 8	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . 10
10	4	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . 13
11	10	rabbidv 3101	. . . . . . . . . . . 12
12	11	supeq1d 7926	. . . . . . . . . . 11
13		pcval.2	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . 10
15	9, 14	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
16	15	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
17	3, 16	bi2anan9r 874	. . . . . . 7
18	17	2rexbidv 2975	. . . . . 6
19	18	iotabidv 5577	. . . . 5
20	2, 19	ifbieq2d 3966	. . . 4
21		df-pc 14361	. . . 4
22		pnfex 11351	. . . . 5
23		iotaex 5573	. . . . 5
24	22, 23	ifex 4010	. . . 4
25	20, 21, 24	ovmpt2a 6433	. . 3
26		ifnefalse 3953	. . 3
27	25, 26	sylan9eq 2518	. 2
28	27	anasss 647	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  ifcif 3941   class class class wbr 4452  iotacio 5554  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cr 9512  0cc0 9513  cpnf 9646  clt 9649  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cq 11211  cexp 12166  cdvds 13986  cprime 14217  cpc 14360

This theorem is referenced by:  pczpre  14371  pcdiv  14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-xr 9653  df-pc 14361