MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcz Unicode version

Theorem pcz 14404
Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem pcz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 14385 . . . 4
21ancoms 453 . . 3
32ralrimiva 2871 . 2
4 elq 11213 . . 3
5 nnz 10911 . . . . . . . . . . 11
6 dvds0 13999 . . . . . . . . . . 11
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10
87ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
9 simpr 461 . . . . . . . . 9
108, 9breqtrrd 4478 . . . . . . . 8
1110a1d 25 . . . . . . 7
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
13 simplll 759 . . . . . . . . . . . . 13
14 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
15 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13
16 pcdiv 14376 . . . . . . . . . . . . 13
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . 12
1817breq2d 4464 . . . . . . . . . . 11
19 pczcl 14372 . . . . . . . . . . . . . 14
2012, 13, 14, 19syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13
2120nn0red 10878 . . . . . . . . . . . 12
2212, 15pccld 14374 . . . . . . . . . . . . 13
2322nn0red 10878 . . . . . . . . . . . 12
2421, 23subge0d 10167 . . . . . . . . . . 11
2518, 24bitrd 253 . . . . . . . . . 10
2625ralbidva 2893 . . . . . . . . 9
27 id 22 . . . . . . . . . . 11
28 pc2dvds 14402 . . . . . . . . . . 11
295, 27, 28syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
3029adantr 465 . . . . . . . . 9
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . 8
3231biimpd 207 . . . . . . 7
3311, 32pm2.61dane 2775 . . . . . 6
345adantl 466 . . . . . . 7
35 nnne0 10593 . . . . . . . 8
3635adantl 466 . . . . . . 7
37 simpl 457 . . . . . . 7
38 dvdsval2 13989 . . . . . . 7
3934, 36, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . 6
4033, 39sylibd 214 . . . . 5
41 oveq2 6304 . . . . . . . 8
4241breq2d 4464 . . . . . . 7
4342ralbidv 2896 . . . . . 6
44 eleq1 2529 . . . . . 6
4543, 44imbi12d 320 . . . . 5
4640, 45syl5ibrcom 222 . . . 4
4746rexlimivv 2954 . . 3
484, 47sylbi 195 . 2
493, 48impbid2 204 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cq 11211   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  14413  qexpz  14420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator