MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczpre Unicode version

Theorem pczpre 14371
Description: Connect the prime count pre-function to the actual prime count function, when restricted to the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pczpre.1
Assertion
Ref Expression
pczpre
Distinct variable groups:   ,N   P,

Proof of Theorem pczpre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zq 11217 . . 3
2 eqid 2457 . . . 4
3 eqid 2457 . . . 4
42, 3pcval 14368 . . 3
51, 4sylanr1 652 . 2
6 simprl 756 . . . 4
76zcnd 10995 . . . . . 6
87div1d 10337 . . . . 5
98eqcomd 2465 . . . 4
10 prmuz2 14235 . . . . . . . 8
11 eqid 2457 . . . . . . . 8
12 eqid 2457 . . . . . . . . 9
13 eqid 2457 . . . . . . . . 9
1412, 13pcpre1 14366 . . . . . . . 8
1510, 11, 14sylancl 662 . . . . . . 7
1615adantr 465 . . . . . 6
1716oveq2d 6312 . . . . 5
18 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
19 pczpre.1 . . . . . . . . . 10
2018, 19pcprecl 14363 . . . . . . . . 9
2110, 20sylan 471 . . . . . . . 8
2221simpld 459 . . . . . . 7
2322nn0cnd 10879 . . . . . 6
2423subid1d 9943 . . . . 5
2517, 24eqtr2d 2499 . . . 4
26 1nn 10572 . . . . 5
27 oveq1 6303 . . . . . . . 8
2827eqeq2d 2471 . . . . . . 7
29 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
3029rabbidv 3101 . . . . . . . . . . 11
3130supeq1d 7926 . . . . . . . . . 10
3231, 19syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
3332oveq1d 6311 . . . . . . . 8
3433eqeq2d 2471 . . . . . . 7
3528, 34anbi12d 710 . . . . . 6
36 oveq2 6304 . . . . . . . 8
3736eqeq2d 2471 . . . . . . 7
38 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
3938rabbidv 3101 . . . . . . . . . 10
4039supeq1d 7926 . . . . . . . . 9
4140oveq2d 6312 . . . . . . . 8
4241eqeq2d 2471 . . . . . . 7
4337, 42anbi12d 710 . . . . . 6
4435, 43rspc2ev 3221 . . . . 5
4526, 44mp3an2 1312 . . . 4
466, 9, 25, 45syl12anc 1226 . . 3
47 ltso 9686 . . . . . 6
4847supex 7943 . . . . 5
4919, 48eqeltri 2541 . . . 4
502, 3pceu 14370 . . . . 5
511, 50sylanr1 652 . . . 4
52 eqeq1 2461 . . . . . . 7
5352anbi2d 703 . . . . . 6
54532rexbidv 2975 . . . . 5
5554iota2 5582 . . . 4
5649, 51, 55sylancr 663 . . 3
5746, 56mpbid 210 . 2
585, 57eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109   class class class wbr 4452  iotacio 5554  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cq 11211   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pczcl  14372  pcmul  14375  pcdiv  14376  pc1  14379  pczdvds  14386  pczndvds  14388  pczndvds2  14390  pcneg  14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator