MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 6719
Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 6719 through peano5 6723 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 6715 . 2
2 0ellim 4945 . 2
31, 2ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  e.wcel 1818   c0 3784  Limwlim 4884   com 6700
This theorem is referenced by:  onnseq  7034  rdg0  7106  fr0g  7120  seqomlem3  7136  oa1suc  7200  om1  7210  oe1  7212  nna0r  7277  nnm0r  7278  nnmcl  7280  nnecl  7281  nnmsucr  7293  nnaword1  7297  nnaordex  7306  1onn  7307  oaabs2  7313  nnm1  7316  nneob  7320  omopth  7326  snfi  7616  0sdom1dom  7737  0fin  7767  findcard2  7780  nnunifi  7791  unblem2  7793  infn0  7802  unfilem3  7806  dffi3  7911  inf0  8059  infeq5i  8074  axinf2  8078  dfom3  8085  infdifsn  8094  noinfep  8097  noinfepOLD  8098  cantnflt  8112  cantnfltOLD  8142  cnfcomlem  8164  cnfcom  8165  cnfcom2lem  8166  cnfcom3lem  8168  cnfcom3  8169  cnfcomlemOLD  8172  cnfcomOLD  8173  cnfcom2lemOLD  8174  cnfcom3lemOLD  8176  cnfcom3OLD  8177  trcl  8180  rankdmr1  8240  rankeq0b  8299  cardlim  8374  infxpenc  8416  infxpenc2  8420  infxpencOLD  8421  infxpenc2OLD  8424  alephgeom  8484  alephfplem4  8509  ackbij1lem13  8633  ackbij1  8639  ackbij1b  8640  ominf4  8713  fin23lem16  8736  fin23lem31  8744  fin23lem40  8752  isf32lem9  8762  isf34lem7  8780  isf34lem6  8781  fin1a2lem6  8806  fin1a2lem7  8807  fin1a2lem11  8811  axdc3lem2  8852  axdc3lem4  8854  axdc4lem  8856  axcclem  8858  axdclem2  8921  pwfseqlem5  9062  omina  9090  wunex3  9140  1lt2pi  9304  1nn  10572  om2uzrani  12063  uzrdg0i  12070  fzennn  12078  axdc4uzlem  12092  hash1  12469  ltbwe  18137  2ndcdisj2  19958  snct  27534  trpredpred  29311  0hf  29834  neibastop2lem  30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-om 6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator