MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5nni Unicode version

Theorem peano5nni 10564
Description: Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano5nni
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem peano5nni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nn 10562 . . 3
2 df-ima 5017 . . 3
31, 2eqtri 2486 . 2
4 frfnom 7119 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
6 fveq2 5871 . . . . . . . 8
76eleq1d 2526 . . . . . . 7
8 fveq2 5871 . . . . . . . 8
98eleq1d 2526 . . . . . . 7
10 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1110eleq1d 2526 . . . . . . 7
12 ax-1cn 9571 . . . . . . . . 9
13 fr0g 7120 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 simpl 457 . . . . . . . 8
1614, 15syl5eqel 2549 . . . . . . 7
17 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
1817eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
1918rspccv 3207 . . . . . . . . . 10
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
21 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
23 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
24 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
2522, 23, 24frsucmpt2 7124 . . . . . . . . . . . 12
2621, 25mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
2726eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
2827adantl 466 . . . . . . . . 9
2920, 28sylibrd 234 . . . . . . . 8
3029expcom 435 . . . . . . 7
317, 9, 11, 16, 30finds2 6728 . . . . . 6
3231com12 31 . . . . 5
3332ralrimiv 2869 . . . 4
34 ffnfv 6057 . . . 4
355, 33, 34sylanbrc 664 . . 3
36 frn 5742 . . 3
3735, 36syl 16 . 2
383, 37syl5eqss 3547 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561
This theorem is referenced by:  nnssre  10565  dfnn2  10574  nnind  10579  nnindf  27610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-1cn 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator