Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrgt0 Unicode version

Theorem pell14qrgt0 28873
Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgt0

Proof of Theorem pell14qrgt0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 28863 . . 3
2 0cnd 9325 . . . . . . . . . . . . . 14
3 eldifi 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43ad3antrrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54nnred 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64nnnn0d 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76nn0ge0d 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85, 7resqrcld 12845 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 zre 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109adantl 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110ad2antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128, 11remulcld 9360 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . 14
142, 13abssubd 12880 . . . . . . . . . . . . 13
1513subid1d 9654 . . . . . . . . . . . . . 14
1615fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13
1714, 16eqtrd 2454 . . . . . . . . . . . 12
18 absresq 12732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1912, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
205recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120sqrcld 12864 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2210recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322ad2antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2421, 23sqmuld 11961 . . . . . . . . . . . . . . 15
2520sqsqrd 12866 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . . . . 15
2719, 24, 263eqtrd 2458 . . . . . . . . . . . . . 14
28 0lt1 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 simpr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30breqtrrd 4293 . . . . . . . . . . . . . . 15
3211resqcld 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
335, 32remulcld 9360 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 nn0re 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ad2antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736resqcld 11975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3833, 37posdifd 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15
3931, 38mpbird 226 . . . . . . . . . . . . . 14
4027, 39eqbrtrd 4287 . . . . . . . . . . . . 13
4113abscld 12863 . . . . . . . . . . . . . 14
4213absge0d 12871 . . . . . . . . . . . . . 14
43 nn0ge0 10551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544ad2antlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14
4641, 36, 42, 45lt2sqd 11983 . . . . . . . . . . . . 13
4740, 46mpbird 226 . . . . . . . . . . . 12
4817, 47eqbrtrd 4287 . . . . . . . . . . 11
49 0re 9332 . . . . . . . . . . . . 13
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5150, 12, 36absdifltd 12861 . . . . . . . . . . 11
5248, 51mpbid 204 . . . . . . . . . 10
5352simprd 453 . . . . . . . . 9
54 nn0cn 10535 . . . . . . . . . . . 12
5554adantr 455 . . . . . . . . . . 11
5655ad2antlr 711 . . . . . . . . . 10
5756, 13addcomd 9517 . . . . . . . . 9
5853, 57breqtrrd 4293 . . . . . . . 8
5958adantrl 700 . . . . . . 7
60 simprl 740 . . . . . . 7
6159, 60breqtrrd 4293 . . . . . 6
6261ex 427 . . . . 5
6362rexlimdvva 2827 . . . 4
6463expimpd 590 . . 3
651, 64sylbid 209 . 2
6665imp 422 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  E.wrex 2695  \cdif 3302   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541   cn 10268  2c2 10317   cn0 10525   cz 10591   cexp 11806   csqr 12663   cabs 12664   csquarenn 28850   cpell14qr 28853
This theorem is referenced by:  pell14qrrp  28874  elpell14qr2  28876  elpell1qr2  28886  pellfundex  28900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-pell14qr 28857
  Copyright terms: Public domain W3C validator