Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrgt0 Unicode version

Theorem pell14qrgt0 29660
Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgt0

Proof of Theorem pell14qrgt0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 29650 . . 3
2 0cnd 9516 . . . . . . . . . . . . . 14
3 eldifi 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54nnred 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64nnnn0d 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76nn0ge0d 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85, 7resqrcld 13062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 zre 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128, 11remulcld 9551 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14
142, 13abssubd 13097 . . . . . . . . . . . . 13
1513subid1d 9845 . . . . . . . . . . . . . 14
1615fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . 13
1714, 16eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12
18 absresq 12949 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1912, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
205recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120sqrcld 13081 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2210recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2421, 23sqmuld 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15
2520sqsqrd 13083 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625oveq1d 6237 . . . . . . . . . . . . . . 15
2719, 24, 263eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . 14
28 0lt1 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30breqtrrd 4435 . . . . . . . . . . . . . . 15
3211resqcld 12191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
335, 32remulcld 9551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 nn0re 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736resqcld 12191 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3833, 37posdifd 10063 . . . . . . . . . . . . . . 15
3931, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
4027, 39eqbrtrd 4429 . . . . . . . . . . . . 13
4113abscld 13080 . . . . . . . . . . . . . 14
4213absge0d 13088 . . . . . . . . . . . . . 14
43 nn0ge0 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
4641, 36, 42, 45lt2sqd 12199 . . . . . . . . . . . . 13
4740, 46mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
4817, 47eqbrtrd 4429 . . . . . . . . . . 11
49 0re 9523 . . . . . . . . . . . . 13
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5150, 12, 36absdifltd 13078 . . . . . . . . . . 11
5248, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10
5352simprd 463 . . . . . . . . 9
54 nn0cn 10727 . . . . . . . . . . . 12
5554adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
5756, 13addcomd 9708 . . . . . . . . 9
5853, 57breqtrrd 4435 . . . . . . . 8
5958adantrl 715 . . . . . . 7
60 simprl 755 . . . . . . 7
6159, 60breqtrrd 4435 . . . . . 6
6261ex 434 . . . . 5
6362rexlimdvva 2957 . . . 4
6463expimpd 603 . . 3
651, 64sylbid 215 . 2
6665imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  E.wrex 2801  \cdif 3439   class class class wbr 4409  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732   cn 10460  2c2 10509   cn0 10717   cz 10784   cexp 12022   csqr 12880   cabs 12881   csquarenn 29637   cpell14qr 29640
This theorem is referenced by:  pell14qrrp  29661  elpell14qr2  29663  elpell1qr2  29673  pellfundex  29687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-seq 11964  df-exp 12023  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-pell14qr 29644
  Copyright terms: Public domain W3C validator