Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfect Unicode version

Theorem perfect 22970
 Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer is a perfect number (that is, its divisor sum is 2N) if and only if it is of the form 2 ( 1) (2 1), where 2 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
perfect
Distinct variable group:   N,

Proof of Theorem perfect
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . . 7
2 2prm 13937 . . . . . . . 8
3 simpll 753 . . . . . . . 8
4 pcelnn 14094 . . . . . . . 8
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . 7
61, 5mpbird 232 . . . . . 6
76nnzd 10884 . . . . 5
87peano2zd 10888 . . . 4
9 pcdvds 14088 . . . . . . . . 9
102, 3, 9sylancr 663 . . . . . . . 8
11 2nn 10617 . . . . . . . . . 10
126nnnn0d 10774 . . . . . . . . . 10
13 nnexpcl 12035 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13sylancr 663 . . . . . . . . 9
15 nndivdvds 13699 . . . . . . . . 9
163, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8
1710, 16mpbid 210 . . . . . . 7
18 pcndvds2 14092 . . . . . . . 8
192, 3, 18sylancr 663 . . . . . . 7
20 simpr 461 . . . . . . . 8
21 nncn 10468 . . . . . . . . . . 11
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
2314nncnd 10476 . . . . . . . . . 10
2414nnne0d 10504 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24divcan2d 10246 . . . . . . . . 9
2625oveq2d 6238 . . . . . . . 8
2725oveq2d 6238 . . . . . . . 8
2820, 26, 273eqtr4d 2505 . . . . . . 7
296, 17, 19, 28perfectlem2 22969 . . . . . 6
3029simprd 463 . . . . 5
3129simpld 459 . . . . 5
3230, 31eqeltrrd 2543 . . . 4
336nncnd 10476 . . . . . . . . 9
34 ax-1cn 9477 . . . . . . . . 9
35 pncan 9753 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35sylancl 662 . . . . . . . 8
3736eqcomd 2462 . . . . . . 7
3837oveq2d 6238 . . . . . 6
3938, 30oveq12d 6240 . . . . 5
4025, 39eqtr3d 2497 . . . 4
41 oveq2 6230 . . . . . . . 8
4241oveq1d 6237 . . . . . . 7
4342eleq1d 2523 . . . . . 6
44 oveq1 6229 . . . . . . . . 9
4544oveq2d 6238 . . . . . . . 8
4645, 42oveq12d 6240 . . . . . . 7
4746eqeq2d 2468 . . . . . 6
4843, 47anbi12d 710 . . . . 5
4948rspcev 3182 . . . 4
508, 32, 40, 49syl12anc 1217 . . 3
5150ex 434 . 2
52 perfect1 22967 . . . . . 6
53 2cn 10530 . . . . . . . . 9
54 mersenne 22966 . . . . . . . . . 10
55 prmnn 13924 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9
57 expm1t 12049 . . . . . . . . 9
5853, 56, 57sylancr 663 . . . . . . . 8
59 nnm1nn0 10759 . . . . . . . . . . 11
6056, 59syl 16 . . . . . . . . . 10
61 expcl 12040 . . . . . . . . . 10
6253, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . 9
63 mulcom 9505 . . . . . . . . 9
6462, 53, 63sylancl 662 . . . . . . . 8
6558, 64eqtrd 2495 . . . . . . 7
6665oveq1d 6237 . . . . . 6
67 2cnd 10532 . . . . . . 7
68 prmnn 13924 . . . . . . . . 9
6968adantl 466 . . . . . . . 8
7069nncnd 10476 . . . . . . 7
7167, 62, 70mulassd 9546 . . . . . 6
7252, 66, 713eqtrd 2499 . . . . 5
73 oveq2 6230 . . . . . 6
74 oveq2 6230 . . . . . 6
7573, 74eqeq12d 2476 . . . . 5
7672, 75syl5ibrcom 222 . . . 4
7776impr 619 . . 3
7877rexlimiva 2945 . 2
7951, 78impbid1 203 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  E.wrex 2801   class class class wbr 4409  (class class class)co 6222   cc 9417  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   cmin 9732   cdiv 10130   cn 10460  2c2 10509   cn0 10717   cz 10784   cexp 12022   cdivides 13693   cprime 13921   cpc 14061   csgm 22833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-mod 11854  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-bc 12236  df-hash 12261  df-shft 12714  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-ef 13511  df-sin 13513  df-cos 13514  df-pi 13516  df-dvds 13694  df-gcd 13849  df-prm 13922  df-pc 14062  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-lp 19139  df-perf 19140  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-haus 19318  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cncf 20853  df-limc 21741  df-dv 21742  df-log 22408  df-cxp 22409  df-sgm 22839
 Copyright terms: Public domain W3C validator