MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phiprmpw Unicode version

Theorem phiprmpw 14306
Description: Value of the Euler function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw

Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14220 . . . 4
2 nnnn0 10827 . . . 4
3 nnexpcl 12179 . . . 4
41, 2, 3syl2an 477 . . 3
5 phival 14297 . . 3
64, 5syl 16 . 2
7 nnm1nn0 10862 . . . . . 6
8 nnexpcl 12179 . . . . . 6
91, 7, 8syl2an 477 . . . . 5
109nncnd 10577 . . . 4
111nncnd 10577 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 ax-1cn 9571 . . . . 5
14 subdi 10015 . . . . 5
1513, 14mp3an3 1313 . . . 4
1610, 12, 15syl2anc 661 . . 3
1710mulid1d 9634 . . . 4
1817oveq2d 6312 . . 3
19 inrab 3769 . . . . . . 7
20 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
21 prmz 14221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 rpexp 14261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2321, 22syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24233expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524an32s 804 . . . . . . . . . . . . . 14
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 zexpcl 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2821, 2, 27syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3126, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
33 coprm 14241 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
3525, 32, 343bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . 13
36 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837subid1d 9943 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . 14
4039notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
4135, 40bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12
4220, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
4342biimpd 207 . . . . . . . . . 10
44 imnan 422 . . . . . . . . . 10
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . 9
4645ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
47 rabeq0 3807 . . . . . . . 8
4846, 47sylibr 212 . . . . . . 7
4919, 48syl5eq 2510 . . . . . 6
50 fzfi 12082 . . . . . . . 8
51 ssrab2 3584 . . . . . . . 8
52 ssfi 7760 . . . . . . . 8
5350, 51, 52mp2an 672 . . . . . . 7
54 ssrab2 3584 . . . . . . . 8
55 ssfi 7760 . . . . . . . 8
5650, 54, 55mp2an 672 . . . . . . 7
57 hashun 12450 . . . . . . 7
5853, 56, 57mp3an12 1314 . . . . . 6
5949, 58syl 16 . . . . 5
6042biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12
6160con1d 124 . . . . . . . . . . 11
6261orrd 378 . . . . . . . . . 10
6362ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
64 rabid2 3035 . . . . . . . . 9
6563, 64sylibr 212 . . . . . . . 8
66 unrab 3768 . . . . . . . 8
6765, 66syl6reqr 2517 . . . . . . 7
6867fveq2d 5875 . . . . . 6
694nnnn0d 10877 . . . . . . 7
70 hashfz1 12419 . . . . . . 7
7169, 70syl 16 . . . . . 6
72 expm1t 12194 . . . . . . 7
7311, 72sylan 471 . . . . . 6
7468, 71, 733eqtrd 2502 . . . . 5
751adantr 465 . . . . . . . . 9
76 1zzd 10920 . . . . . . . . 9
77 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . 11
78 1m1e0 10629 . . . . . . . . . . . 12
7978fveq2i 5874 . . . . . . . . . . 11
8077, 79eqtr4i 2489 . . . . . . . . . 10
8169, 80syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9
82 0zd 10901 . . . . . . . . 9
8375, 76, 81, 82hashdvds 14305 . . . . . . . 8
844nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
8584subid1d 9943 . . . . . . . . . . . . 13
8685oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
8775nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . 13
88 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
9012, 87, 89expm1d 12320 . . . . . . . . . . . 12
9186, 90eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
9291fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
939nnzd 10993 . . . . . . . . . . 11
94 flid 11945 . . . . . . . . . . 11
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . 10
9692, 95eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
9778oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
98 0m0e0 10670 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 98eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13
10099oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
10112, 87div0d 10344 . . . . . . . . . . . 12
102100, 101syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
103102fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
104 0z 10900 . . . . . . . . . . 11
105 flid 11945 . . . . . . . . . . 11
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
107103, 106syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
10896, 107oveq12d 6314 . . . . . . . 8
10910subid1d 9943 . . . . . . . 8
11083, 108, 1093eqtrd 2502 . . . . . . 7
111110oveq2d 6312 . . . . . 6
112 hashcl 12428 . . . . . . . . 9
11353, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8
114113nn0cni 10832 . . . . . . 7
115 addcom 9787 . . . . . . 7
116114, 10, 115sylancr 663 . . . . . 6
117111, 116eqtrd 2498 . . . . 5
11859, 74, 1173eqtr3rd 2507 . . . 4
11910, 12mulcld 9637 . . . . 5
120114a1i 11 . . . . 5
121119, 10, 120subaddd 9972 . . . 4
122118, 121mpbird 232 . . 3
12316, 18, 1223eqtrrd 2503 . 2
1246, 123eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfl 11927   cexp 12166   chash 12405   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217   cphi 14294
This theorem is referenced by:  phiprm  14307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-phi 14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator