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Theorem php 7721
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to a proper subset of itself. Theorem (Pigeonhole Principle) of [Enderton] p. 134. The theorem is so-called because you can't put n + 1 pigeons into n holes (if each hole holds only one pigeon). The proof consists of lemmas phplem1 7716 through phplem4 7719, nneneq 7720, and this final piece of the proof. (Contributed by NM, 29-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php

Proof of Theorem php
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3814 . . . . . . . 8
2 sspsstr 3608 . . . . . . . 8
31, 2mpan 670 . . . . . . 7
4 0pss 3864 . . . . . . . 8
5 df-ne 2654 . . . . . . . 8
64, 5bitri 249 . . . . . . 7
73, 6sylib 196 . . . . . 6
8 nn0suc 6724 . . . . . . 7
98orcanai 913 . . . . . 6
107, 9sylan2 474 . . . . 5
11 pssnel 3893 . . . . . . . . . 10
12 pssss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 ssdif 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15 disj3 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1614, 15bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1913, 18syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2120sucex 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2321, 22ssexi 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2612, 19, 25syl56 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2920, 28phplem3 7718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 domentr 7594 . . . . . . . . . . . . . . 15
3227, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
3332exp43 612 . . . . . . . . . . . . 13
3433com4r 86 . . . . . . . . . . . 12
3534imp 429 . . . . . . . . . . 11
3635exlimiv 1722 . . . . . . . . . 10
3711, 36mpcom 36 . . . . . . . . 9
38 endomtr 7593 . . . . . . . . . . . 12
39 sssucid 4960 . . . . . . . . . . . . 13
40 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . 13
4121, 39, 40mp2 9 . . . . . . . . . . . 12
42 sbth 7657 . . . . . . . . . . . 12
4338, 41, 42sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
4443expcom 435 . . . . . . . . . 10
45 peano2b 6716 . . . . . . . . . . . . 13
46 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
4820sucid 4962 . . . . . . . . . . . 12
49 nordeq 4902 . . . . . . . . . . . 12
5047, 48, 49sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
51 nneneq 7720 . . . . . . . . . . . . . 14
5245, 51sylanb 472 . . . . . . . . . . . . 13
5352anidms 645 . . . . . . . . . . . 12
5453necon3bbid 2704 . . . . . . . . . . 11
5550, 54mpbird 232 . . . . . . . . . 10
5644, 55nsyli 141 . . . . . . . . 9
5737, 56syli 37 . . . . . . . 8
5857com12 31 . . . . . . 7
59 psseq2 3591 . . . . . . . 8
60 breq1 4455 . . . . . . . . 9
6160notbid 294 . . . . . . . 8
6259, 61imbi12d 320 . . . . . . 7
6358, 62syl5ibrcom 222 . . . . . 6
6463rexlimiv 2943 . . . . 5
6510, 64syl 16 . . . 4
6665ex 434 . . 3
6766pm2.43d 48 . 2
6867imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885   com 6700   cen 7533   cdom 7534
This theorem is referenced by:  php2  7722  php3  7723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538
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