MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php3 Unicode version

Theorem php3 7723
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If is finite and is a proper subset of , the is strictly less numerous than . Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
php3

Proof of Theorem php3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7559 . . 3
2 relen 7541 . . . . . . . . 9
32brrelexi 5045 . . . . . . . 8
4 pssss 3598 . . . . . . . 8
5 ssdomg 7581 . . . . . . . . 9
65imp 429 . . . . . . . 8
73, 4, 6syl2an 477 . . . . . . 7
87adantll 713 . . . . . 6
9 bren 7545 . . . . . . . . 9
10 imass2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 pssnel 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15 f1ofn 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
16 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17 fnfvima 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18173expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1915, 16, 18sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20 dff1o3 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2120simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
22 imadif 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2423eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2519, 24sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
26 n0i 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2725, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2814, 27syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3113, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 dfpss3 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15
3512, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14
36 imadmrn 5352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
37 f1odm 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837imaeq2d 5342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 forn 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4236, 38, 413eqtr3a 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342psseq2d 3596 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
4535, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
46 php 7721 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
48 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 f1ores 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5048, 4, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251resex 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 f1oeq1 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5452, 53spcev 3201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 bren 7545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
5750, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
58 entr 7587 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
6247, 61mtod 177 . . . . . . . . . . 11
6362exp32 605 . . . . . . . . . 10
6463exlimdv 1724 . . . . . . . . 9
659, 64syl5bi 217 . . . . . . . 8
6665imp31 432 . . . . . . 7
67 entr 7587 . . . . . . . . . 10
6867ex 434 . . . . . . . . 9
69 ensym 7584 . . . . . . . . 9
7068, 69syl6com 35 . . . . . . . 8
7170ad2antlr 726 . . . . . . 7
7266, 71mtod 177 . . . . . 6
73 brsdom 7558 . . . . . 6
748, 72, 73sylanbrc 664 . . . . 5
7574exp31 604 . . . 4
7675rexlimiv 2943 . . 3
771, 76sylbi 195 . 2
7877imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  pssinf  7750  f1finf1o  7766  findcard3  7783  fofinf1o  7821  ackbij1b  8640  fincssdom  8724  fin23lem25  8725  canthp1lem2  9052  pwfseqlem4  9061  uzindi  12091  symggen  16495  pgpssslw  16634  pgpfaclem2  17133  ppiltx  23451  finminlem  30136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator