MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phplem2 Unicode version

Theorem phplem2 7717
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1
phplem2.2
Assertion
Ref Expression
phplem2

Proof of Theorem phplem2
StepHypRef Expression
1 snex 4693 . . . . . 6
2 phplem2.2 . . . . . . 7
3 phplem2.1 . . . . . . 7
42, 3f1osn 5858 . . . . . 6
5 f1oen3g 7551 . . . . . 6
61, 4, 5mp2an 672 . . . . 5
7 difss 3630 . . . . . . 7
83, 7ssexi 4597 . . . . . 6
98enref 7568 . . . . 5
106, 9pm3.2i 455 . . . 4
11 incom 3690 . . . . . 6
12 ssrin 3722 . . . . . . . . 9
137, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8
14 nnord 6708 . . . . . . . . 9
15 orddisj 4921 . . . . . . . . 9
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8
1713, 16syl5sseq 3551 . . . . . . 7
18 ss0 3816 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
2011, 19syl5eq 2510 . . . . 5
21 disjdif 3900 . . . . 5
2220, 21jctil 537 . . . 4
23 unen 7618 . . . 4
2410, 22, 23sylancr 663 . . 3
2524adantr 465 . 2
26 uncom 3647 . . . 4
27 difsnid 4176 . . . 4
2826, 27syl5eq 2510 . . 3
2928adantl 466 . 2
30 phplem1 7716 . 2
3125, 29, 303brtr3d 4481 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885  -1-1-onto->wf1o 5592   com 6700   cen 7533
This theorem is referenced by:  phplem3  7718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6701  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator