MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phplem4 Unicode version

Theorem phplem4 7719
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. Equinumerosity of successors implies equinumerosity of the original natural numbers. (Contributed by NM, 28-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1
phplem2.2
Assertion
Ref Expression
phplem4

Proof of Theorem phplem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . 2
2 f1of1 5820 . . . . . . . . . 10
32adantl 466 . . . . . . . . 9
4 phplem2.2 . . . . . . . . . 10
54sucex 6646 . . . . . . . . 9
6 sssucid 4960 . . . . . . . . . 10
7 phplem2.1 . . . . . . . . . 10
8 f1imaen2g 7596 . . . . . . . . . 10
96, 7, 8mpanr12 685 . . . . . . . . 9
103, 5, 9sylancl 662 . . . . . . . 8
1110ensymd 7586 . . . . . . 7
12 nnord 6708 . . . . . . . . . 10
13 orddif 4976 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9
1514imaeq2d 5342 . . . . . . . 8
16 f1ofn 5822 . . . . . . . . . . 11
177sucid 4962 . . . . . . . . . . 11
18 fnsnfv 5933 . . . . . . . . . . 11
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . . 10
2019difeq2d 3621 . . . . . . . . 9
21 imadmrn 5352 . . . . . . . . . . . 12
2221eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11
23 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . 12
24 forn 5803 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11
26 f1odm 5825 . . . . . . . . . . . 12
2726imaeq2d 5342 . . . . . . . . . . 11
2822, 25, 273eqtr3a 2522 . . . . . . . . . 10
2928difeq1d 3620 . . . . . . . . 9
30 dff1o3 5827 . . . . . . . . . . 11
3130simprbi 464 . . . . . . . . . 10
32 imadif 5668 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9
3420, 29, 333eqtr4rd 2509 . . . . . . . 8
3515, 34sylan9eq 2518 . . . . . . 7
3611, 35breqtrd 4476 . . . . . 6
37 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . 10
3816, 17, 37sylancl 662 . . . . . . . . 9
3924eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
4023, 39syl 16 . . . . . . . . 9
4138, 40mpbid 210 . . . . . . . 8
42 fvex 5881 . . . . . . . . 9
434, 42phplem3 7718 . . . . . . . 8
4441, 43sylan2 474 . . . . . . 7
4544ensymd 7586 . . . . . 6
46 entr 7587 . . . . . 6
4736, 45, 46syl2an 477 . . . . 5
4847anandirs 831 . . . 4
4948ex 434 . . 3
5049exlimdv 1724 . 2
511, 50syl5bi 217 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   cen 7533
This theorem is referenced by:  nneneq  7720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator