MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyco2 Unicode version

Theorem phtpyco2 20262
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyco2.f
phtpyco2.g
phtpyco2.p
phtpyco2.h
Assertion
Ref Expression
phtpyco2

Proof of Theorem phtpyco2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyco2.f . . 3
2 phtpyco2.p . . 3
3 cnco 18574 . . 3
41, 2, 3syl2anc 646 . 2
5 phtpyco2.g . . 3
6 cnco 18574 . . 3
75, 2, 6syl2anc 646 . 2
81, 5phtpyhtpy 20254 . . . 4
9 phtpyco2.h . . . 4
108, 9sseldd 3334 . . 3
111, 5, 2, 10htpyco2 20251 . 2
121, 5, 9phtpyi 20256 . . . . 5
1312simpld 449 . . . 4
1413fveq2d 5665 . . 3
15 0elunit 11347 . . . . . 6
16 simpr 451 . . . . . 6
17 opelxpi 4842 . . . . . 6
1815, 16, 17sylancr 648 . . . . 5
19 iitopon 20155 . . . . . . . . 9
20 txtopon 18868 . . . . . . . . 9
2119, 19, 20mp2an 657 . . . . . . . 8
2221a1i 11 . . . . . . 7
23 cntop2 18549 . . . . . . . . 9
241, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 eqid 2422 . . . . . . . . 9
2625toptopon 18242 . . . . . . . 8
2724, 26sylib 190 . . . . . . 7
281, 5phtpycn 20255 . . . . . . . 8
2928, 9sseldd 3334 . . . . . . 7
30 cnf2 18557 . . . . . . 7
3122, 27, 29, 30syl3anc 1203 . . . . . 6
32 fvco3 5738 . . . . . 6
3331, 32sylan 461 . . . . 5
3418, 33syldan 460 . . . 4
35 df-ov 6064 . . . 4
36 df-ov 6064 . . . . 5
3736fveq2i 5664 . . . 4
3834, 35, 373eqtr4g 2479 . . 3
39 iiuni 20157 . . . . . . 7
4039, 25cnf 18554 . . . . . 6
411, 40syl 16 . . . . 5
4241adantr 455 . . . 4
43 fvco3 5738 . . . 4
4442, 15, 43sylancl 647 . . 3
4514, 38, 443eqtr4d 2464 . 2
4612simprd 453 . . . 4
4746fveq2d 5665 . . 3
48 1elunit 11348 . . . . . 6
49 opelxpi 4842 . . . . . 6
5048, 16, 49sylancr 648 . . . . 5
51 fvco3 5738 . . . . . 6
5231, 51sylan 461 . . . . 5
5350, 52syldan 460 . . . 4
54 df-ov 6064 . . . 4
55 df-ov 6064 . . . . 5
5655fveq2i 5664 . . . 4
5753, 54, 563eqtr4g 2479 . . 3
58 fvco3 5738 . . . 4
5942, 48, 58sylancl 647 . . 3
6047, 57, 593eqtr4d 2464 . 2
614, 7, 11, 45, 60isphtpyd 20258 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  <.cop 3856  U.cuni 4066  X.cxp 4809  o.ccom 4815  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  0cc0 9228  1c1 9229   cicc 11248   ctop 18202   ctopon 18203   ccn 18532   ctx 18837   cii 20151   chtpy 20239   cphtpy 20240
This theorem is referenced by:  phtpcco2  20271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-icc 11252  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-topgen 14322  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-cn 18535  df-tx 18839  df-ii 20153  df-htpy 20242  df-phtpy 20243
  Copyright terms: Public domain W3C validator