MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cof Unicode version

Theorem pi1cof 20331
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p
pi1co.q
pi1co.v
pi1co.g
pi1co.j
pi1co.f
pi1co.a
pi1co.b
Assertion
Ref Expression
pi1cof
Distinct variable groups:   ,   ,   ,J   ,   ,   P,   Q,   ,

Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4
2 fvex 5671 . . . . 5
3 ecexg 7066 . . . . 5
42, 3mp1i 12 . . . 4
5 pi1co.q . . . . 5
6 eqid 2422 . . . . 5
7 pi1co.f . . . . . . . 8
8 cntop2 18549 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
10 eqid 2422 . . . . . . . 8
1110toptopon 18242 . . . . . . 7
129, 11sylib 190 . . . . . 6
1312adantr 455 . . . . 5
14 pi1co.b . . . . . . 7
15 pi1co.j . . . . . . . . 9
16 cnf2 18557 . . . . . . . . 9
1715, 12, 7, 16syl3anc 1203 . . . . . . . 8
18 pi1co.a . . . . . . . 8
1917, 18ffvelrnd 5814 . . . . . . 7
2014, 19eqeltrrd 2497 . . . . . 6
2120adantr 455 . . . . 5
22 pi1co.p . . . . . . . . 9
23 pi1co.v . . . . . . . . . 10
2423a1i 11 . . . . . . . . 9
2522, 15, 18, 24pi1eluni 20314 . . . . . . . 8
2625biimpa 474 . . . . . . 7
2726simp1d 985 . . . . . 6
287adantr 455 . . . . . 6
29 cnco 18574 . . . . . 6
3027, 28, 29syl2anc 646 . . . . 5
31 iitopon 20155 . . . . . . . . 9
3231a1i 11 . . . . . . . 8
3315adantr 455 . . . . . . . 8
34 cnf2 18557 . . . . . . . 8
3532, 33, 27, 34syl3anc 1203 . . . . . . 7
36 0elunit 11347 . . . . . . 7
37 fvco3 5738 . . . . . . 7
3835, 36, 37sylancl 647 . . . . . 6
3926simp2d 986 . . . . . . 7
4039fveq2d 5665 . . . . . 6
4114adantr 455 . . . . . 6
4238, 40, 413eqtrd 2458 . . . . 5
43 1elunit 11348 . . . . . . 7
44 fvco3 5738 . . . . . . 7
4535, 43, 44sylancl 647 . . . . . 6
4626simp3d 987 . . . . . . 7
4746fveq2d 5665 . . . . . 6
4845, 47, 413eqtrd 2458 . . . . 5
495, 6, 13, 21, 30, 42, 48elpi1i 20318 . . . 4
50 eceq1 7098 . . . 4
51 coeq2 4969 . . . . 5
52 eceq1 7098 . . . . 5
5351, 52syl 16 . . . 4
54 phtpcer 20267 . . . . . 6
5554a1i 11 . . . . 5
56 simpr3 981 . . . . . . 7
57 phtpcer 20267 . . . . . . . . 9
5857a1i 11 . . . . . . . 8
59 simpr1 979 . . . . . . . . . 10
6025adantr 455 . . . . . . . . . 10
6159, 60mpbid 204 . . . . . . . . 9
6261simp1d 985 . . . . . . . 8
6358, 62erth 7106 . . . . . . 7
6456, 63mpbird 226 . . . . . 6
657adantr 455 . . . . . 6
6664, 65phtpcco2 20271 . . . . 5
6755, 66erthi 7108 . . . 4
681, 4, 49, 50, 53, 67fliftfund 5974 . . 3
691, 4, 49fliftf 5976 . . 3
7068, 69mpbid 204 . 2
7122, 15, 18, 24pi1bas2 20313 . . . 4
72 df-qs 7068 . . . . 5
73 eqid 2422 . . . . . 6
7473rnmpt 5056 . . . . 5
7572, 74eqtr4i 2445 . . . 4
7671, 75syl6eq 2470 . . 3
7776feq2d 5517 . 2
7870, 77mpbird 226 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  {cab 2408  E.wrex 2695   cvv 2951  <.cop 3856  U.cuni 4066   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  rancrn 4812  o.ccom 4815  Funwfun 5384  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  Erwer 7059  [cec 7060  /.cqs 7061  0cc0 9228  1c1 9229   cicc 11248   cbs 14114   ctop 18202   ctopon 18203   ccn 18532   cii 20151   cphtpc 20241   cpi1 20275
This theorem is referenced by:  pi1coval  20332  pi1coghm  20333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-ec 7064  df-qs 7068  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-divs 14387  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-ii 20153  df-htpy 20242  df-phtpy 20243  df-phtpc 20264  df-om1 20278  df-pi1 20280
  Copyright terms: Public domain W3C validator