MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnv Unicode version

Theorem pi1xfrcnv 21028
Description: Given a path between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p
pi1xfr.q
pi1xfr.b
pi1xfr.g
pi1xfr.j
pi1xfr.f
pi1xfr.i
pi1xfrcnv.h
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnv
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   ,I, ,   ,   , , ,   ,J, ,   P, , ,   Q, , ,

Proof of Theorem pi1xfrcnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . . 4
2 pi1xfr.q . . . 4
3 pi1xfr.b . . . 4
4 pi1xfr.g . . . 4
5 pi1xfr.j . . . 4
6 pi1xfr.f . . . 4
7 pi1xfr.i . . . 4
8 pi1xfrcnv.h . . . 4
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pi1xfrcnvlem 21027 . . 3
10 fvex 5823 . . . . . . . 8
11 ecexg 7239 . . . . . . . 8
1210, 11mp1i 12 . . . . . . 7
13 ecexg 7239 . . . . . . . 8
1410, 13mp1i 12 . . . . . . 7
158, 12, 14fliftrel 6132 . . . . . 6
16 df-rel 4964 . . . . . 6
1715, 16sylibr 212 . . . . 5
18 dfrel2 5407 . . . . 5
1917, 18sylib 196 . . . 4
20 0elunit 11548 . . . . . . . . . 10
21 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . . 13
22 1m0e1 10570 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12
2423fveq2d 5817 . . . . . . . . . . 11
25 fvex 5823 . . . . . . . . . . 11
2624, 7, 25fvmpt 5897 . . . . . . . . . 10
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2827oveq2i 6233 . . . . . . . 8
292, 28eqtr4i 2486 . . . . . . 7
30 1elunit 11549 . . . . . . . . . 10
31 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . . 13
3231fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . 12
33 1m1e0 10528 . . . . . . . . . . . . 13
3433fveq2i 5816 . . . . . . . . . . . 12
3532, 34syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11
36 fvex 5823 . . . . . . . . . . 11
3735, 7, 36fvmpt 5897 . . . . . . . . . 10
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3938oveq2i 6233 . . . . . . . 8
401, 39eqtr4i 2486 . . . . . . 7
41 eqid 2454 . . . . . . 7
42 eqid 2454 . . . . . . 7
437pcorevcl 20996 . . . . . . . . 9
446, 43syl 16 . . . . . . . 8
4544simp1d 1000 . . . . . . 7
46 oveq2 6230 . . . . . . . . 9
4746fveq2d 5817 . . . . . . . 8
4847cbvmptv 4500 . . . . . . 7
49 eqid 2454 . . . . . . 7
5029, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49pi1xfrcnvlem 21027 . . . . . 6
51 iitopon 20854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 cnf2 19252 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 5, 6, 53syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554feqmptd 5867 . . . . . . . . . . . . . 14
56 iirev 20900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 oveq2 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 fvex 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6058, 7, 59fvmpt 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6156, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 ax-1cn 9477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 unitssre 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 nncan 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6762, 65, 66sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6961, 68eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069mpteq2ia 4491 . . . . . . . . . . . . . 14
7155, 70syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . 13
7271oveq1d 6237 . . . . . . . . . . . 12
73 eceq1 7271 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11
7574opeq2d 4183 . . . . . . . . . 10
7675mpteq2dv 4496 . . . . . . . . 9
7776rneqd 5184 . . . . . . . 8
788, 77syl5eq 2507 . . . . . . 7
7978cnveqd 5132 . . . . . 6
803a1i 11 . . . . . . . . . 10
8180unieqd 4218 . . . . . . . . 9
8271oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . 12
8382oveq2d 6238 . . . . . . . . . . 11
84 eceq1 7271 . . . . . . . . . . 11
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . 10
8685opeq2d 4183 . . . . . . . . 9
8781, 86mpteq12dv 4487 . . . . . . . 8
8887rneqd 5184 . . . . . . 7
894, 88syl5eq 2507 . . . . . 6
9050, 79, 893sstr4d 3513 . . . . 5
91 cnvss 5129 . . . . 5
9290, 91syl 16 . . . 4
9319, 92eqsstr3d 3505 . . 3
949, 93eqssd 3487 . 2
9594, 78eqtrd 2495 . . 3
9629, 40, 41, 42, 5, 45, 48pi1xfr 21026 . . 3
9795, 96eqeltrd 2542 . 2
9894, 97jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  C_wss 3442  <.cop 3999  U.cuni 4208  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  `'ccnv 4956  rancrn 4958  Relwrel 4962  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  [cec 7233   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   cmin 9732   cicc 11442   cbs 14332   cghm 15903   ctopon 18898   ccn 19227   cii 20850   cphtpc 20940   cpco 20971   cpi1 20974
This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  21029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-ec 7237  df-qs 7241  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-divs 14606  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-mulg 15707  df-ghm 15904  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-ii 20852  df-htpy 20941  df-phtpy 20942  df-phtpc 20963  df-pco 20976  df-om1 20977  df-pi1 20979
  Copyright terms: Public domain W3C validator