MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnv Unicode version

Theorem pi1xfrcnv 20329
Description: Given a path between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p
pi1xfr.q
pi1xfr.b
pi1xfr.g
pi1xfr.j
pi1xfr.f
pi1xfr.i
pi1xfrcnv.h
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnv
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   ,I, ,   ,   , , ,   ,J, ,   P, , ,   Q, , ,

Proof of Theorem pi1xfrcnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . . 4
2 pi1xfr.q . . . 4
3 pi1xfr.b . . . 4
4 pi1xfr.g . . . 4
5 pi1xfr.j . . . 4
6 pi1xfr.f . . . 4
7 pi1xfr.i . . . 4
8 pi1xfrcnv.h . . . 4
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pi1xfrcnvlem 20328 . . 3
10 fvex 5671 . . . . . . . 8
11 ecexg 7066 . . . . . . . 8
1210, 11mp1i 12 . . . . . . 7
13 ecexg 7066 . . . . . . . 8
1410, 13mp1i 12 . . . . . . 7
158, 12, 14fliftrel 5969 . . . . . 6
16 df-rel 4818 . . . . . 6
1715, 16sylibr 206 . . . . 5
18 dfrel2 5260 . . . . 5
1917, 18sylib 190 . . . 4
20 0elunit 11347 . . . . . . . . . 10
21 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . 13
22 1m0e1 10378 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22syl6eq 2470 . . . . . . . . . . . 12
2423fveq2d 5665 . . . . . . . . . . 11
25 fvex 5671 . . . . . . . . . . 11
2624, 7, 25fvmpt 5744 . . . . . . . . . 10
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2827oveq2i 6072 . . . . . . . 8
292, 28eqtr4i 2445 . . . . . . 7
30 1elunit 11348 . . . . . . . . . 10
31 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . 13
3231fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
33 1m1e0 10336 . . . . . . . . . . . . 13
3433fveq2i 5664 . . . . . . . . . . . 12
3532, 34syl6eq 2470 . . . . . . . . . . 11
36 fvex 5671 . . . . . . . . . . 11
3735, 7, 36fvmpt 5744 . . . . . . . . . 10
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3938oveq2i 6072 . . . . . . . 8
401, 39eqtr4i 2445 . . . . . . 7
41 eqid 2422 . . . . . . 7
42 eqid 2422 . . . . . . 7
437pcorevcl 20297 . . . . . . . . 9
446, 43syl 16 . . . . . . . 8
4544simp1d 985 . . . . . . 7
46 oveq2 6069 . . . . . . . . 9
4746fveq2d 5665 . . . . . . . 8
4847cbvmptv 4358 . . . . . . 7
49 eqid 2422 . . . . . . 7
5029, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49pi1xfrcnvlem 20328 . . . . . 6
51 iitopon 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 cnf2 18557 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 5, 6, 53syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554feqmptd 5714 . . . . . . . . . . . . . 14
56 iirev 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 oveq2 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 fvex 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6058, 7, 59fvmpt 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6156, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 unitssre 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463sseli 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 nncan 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6762, 65, 66sylancr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6961, 68eqtrd 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069mpteq2ia 4349 . . . . . . . . . . . . . 14
7155, 70syl6eqr 2472 . . . . . . . . . . . . 13
7271oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . 12
73 eceq1 7098 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11
7574opeq2d 4041 . . . . . . . . . 10
7675mpteq2dv 4354 . . . . . . . . 9
7776rneqd 5038 . . . . . . . 8
788, 77syl5eq 2466 . . . . . . 7
7978cnveqd 4986 . . . . . 6
803a1i 11 . . . . . . . . . 10
8180unieqd 4076 . . . . . . . . 9
8271oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . 12
8382oveq2d 6077 . . . . . . . . . . 11
84 eceq1 7098 . . . . . . . . . . 11
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . 10
8685opeq2d 4041 . . . . . . . . 9
8781, 86mpteq12dv 4345 . . . . . . . 8
8887rneqd 5038 . . . . . . 7
894, 88syl5eq 2466 . . . . . 6
9050, 79, 893sstr4d 3376 . . . . 5
91 cnvss 4983 . . . . 5
9290, 91syl 16 . . . 4
9319, 92eqsstr3d 3368 . . 3
949, 93eqssd 3350 . 2
9594, 78eqtrd 2454 . . 3
9629, 40, 41, 42, 5, 45, 48pi1xfr 20327 . . 3
9795, 96eqeltrd 2496 . 2
9894, 97jca 522 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  C_wss 3305  <.cop 3856  U.cuni 4066  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  `'ccnv 4810  rancrn 4812  Relwrel 4816  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  [cec 7060   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   cmin 9541   cicc 11248   cbs 14114   cghm 15681   ctopon 18203   ccn 18532   cii 20151   cphtpc 20241   cpco 20272   cpi1 20275
This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  20330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-ec 7064  df-qs 7068  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-divs 14387  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-mulg 15485  df-ghm 15682  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-ii 20153  df-htpy 20242  df-phtpy 20243  df-phtpc 20264  df-pco 20277  df-om1 20278  df-pi1 20280
  Copyright terms: Public domain W3C validator