Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rem Unicode version

Theorem ply1rem 21376
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 13666). If a polynomial is divided by the linear factor , the remainder is equal to (A), the evaluation of the polynomial at (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p
ply1rem.b
ply1rem.k
ply1rem.x
ply1rem.m
ply1rem.a
ply1rem.g
ply1rem.o
ply1rem.1
ply1rem.2
ply1rem.3
ply1rem.4
ply1rem.e
Assertion
Ref Expression
ply1rem

Proof of Theorem ply1rem
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . . . . . . 9
2 nzrrng 17152 . . . . . . . . 9
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 ply1rem.4 . . . . . . . 8
5 ply1rem.p . . . . . . . . . . 11
6 ply1rem.b . . . . . . . . . . 11
7 ply1rem.k . . . . . . . . . . 11
8 ply1rem.x . . . . . . . . . . 11
9 ply1rem.m . . . . . . . . . . 11
10 ply1rem.a . . . . . . . . . . 11
11 ply1rem.g . . . . . . . . . . 11
12 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11
13 ply1rem.2 . . . . . . . . . . 11
14 ply1rem.3 . . . . . . . . . . 11
15 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
16 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
17 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 21375 . . . . . . . . . 10
1918simp1d 985 . . . . . . . . 9
20 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
2120, 15mon1puc1p 21363 . . . . . . . . 9
223, 19, 21syl2anc 646 . . . . . . . 8
23 ply1rem.e . . . . . . . . 9
2423, 5, 6, 20, 16r1pdeglt 21371 . . . . . . . 8
253, 4, 22, 24syl3anc 1203 . . . . . . 7
2618simp2d 986 . . . . . . 7
2725, 26breqtrd 4291 . . . . . 6
28 1e0p1 10728 . . . . . 6
2927, 28syl6breq 4306 . . . . 5
30 0nn0 10540 . . . . . 6
31 nn0leltp1 10648 . . . . . 6
3230, 31mpan2 656 . . . . 5
3329, 32syl5ibrcom 216 . . . 4
34 elsni 3879 . . . . . 6
35 0xr 9376 . . . . . . 7
36 mnfle 11058 . . . . . . 7
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6
3834, 37syl6eqbr 4304 . . . . 5
3938a1i 11 . . . 4
4023, 5, 6, 20r1pcl 21370 . . . . . . 7
413, 4, 22, 40syl3anc 1203 . . . . . 6
4216, 5, 6deg1cl 21296 . . . . . 6
4341, 42syl 16 . . . . 5
44 elun 3474 . . . . 5
4543, 44sylib 190 . . . 4
4633, 39, 45mpjaod 374 . . 3
4716, 5, 6, 10deg1le0 21324 . . . 4
483, 41, 47syl2anc 646 . . 3
4946, 48mpbid 204 . 2
50 eqid 2422 . . . . . . . . 9
51 eqid 2422 . . . . . . . . 9
52 eqid 2422 . . . . . . . . 9
535, 6, 20, 50, 23, 51, 52r1pid 21372 . . . . . . . 8
543, 4, 22, 53syl3anc 1203 . . . . . . 7
5554fveq2d 5665 . . . . . 6
56 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
5712, 5, 56, 7evl1rhm 21237 . . . . . . . . 9
5813, 57syl 16 . . . . . . . 8
59 rhmghm 16636 . . . . . . . 8
6058, 59syl 16 . . . . . . 7
615ply1rng 17467 . . . . . . . . 9
623, 61syl 16 . . . . . . . 8
6350, 5, 6, 20q1pcl 21368 . . . . . . . . 9
643, 4, 22, 63syl3anc 1203 . . . . . . . 8
655, 6, 15mon1pcl 21357 . . . . . . . . 9
6619, 65syl 16 . . . . . . . 8
676, 51rngcl 16486 . . . . . . . 8
6862, 64, 66, 67syl3anc 1203 . . . . . . 7
69 eqid 2422 . . . . . . . 8
706, 52, 69ghmlin 15689 . . . . . . 7
7160, 68, 41, 70syl3anc 1203 . . . . . 6
72 eqid 2422 . . . . . . 7
73 fvex 5671 . . . . . . . . 9
747, 73eqeltri 2492 . . . . . . . 8
7574a1i 11 . . . . . . 7
766, 72rhmf 16637 . . . . . . . . 9
7758, 76syl 16 . . . . . . . 8
7877, 68ffvelrnd 5814 . . . . . . 7
7977, 41ffvelrnd 5814 . . . . . . 7
80 eqid 2422 . . . . . . 7
8156, 72, 1, 75, 78, 79, 80, 69pwsplusgval 14368 . . . . . 6
8255, 71, 813eqtrd 2458 . . . . 5
8382fveq1d 5663 . . . 4
8456, 7, 72, 1, 75, 78pwselbas 14367 . . . . . . 7
85 ffn 5529 . . . . . . 7
8684, 85syl 16 . . . . . 6
8756, 7, 72, 1, 75, 79pwselbas 14367 . . . . . . 7
88 ffn 5529 . . . . . . 7
8987, 88syl 16 . . . . . 6
90 fnfvof 6303 . . . . . 6
9186, 89, 75, 14, 90syl22anc 1204 . . . . 5
92 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
936, 51, 92rhmmul 16638 . . . . . . . . . 10
9458, 64, 66, 93syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
9577, 64ffvelrnd 5814 . . . . . . . . . 10
9677, 66ffvelrnd 5814 . . . . . . . . . 10
97 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
9856, 72, 1, 75, 95, 96, 97, 92pwsmulrval 14369 . . . . . . . . 9
9994, 98eqtrd 2454 . . . . . . . 8
10099fveq1d 5663 . . . . . . 7
10156, 7, 72, 1, 75, 95pwselbas 14367 . . . . . . . . 9
102 ffn 5529 . . . . . . . . 9
103101, 102syl 16 . . . . . . . 8
10456, 7, 72, 1, 75, 96pwselbas 14367 . . . . . . . . 9
105 ffn 5529 . . . . . . . . 9
106104, 105syl 16 . . . . . . . 8
107 fnfvof 6303 . . . . . . . 8
108103, 106, 75, 14, 107syl22anc 1204 . . . . . . 7
109 snidg 3880 . . . . . . . . . . . . 13
11014, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11118simp3d 987 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111eleqtrrd 2499 . . . . . . . . . . 11
113 fniniseg 5794 . . . . . . . . . . . 12
114106, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11
115112, 114mpbid 204 . . . . . . . . . 10
116115simprd 453 . . . . . . . . 9
117116oveq2d 6077 . . . . . . . 8
118101, 14ffvelrnd 5814 . . . . . . . . 9
1197, 97, 17rngrz 16510 . . . . . . . . 9
1203, 118, 119syl2anc 646 . . . . . . . 8
121117, 120eqtrd 2454 . . . . . . 7
122100, 108, 1213eqtrd 2458 . . . . . 6
123122oveq1d 6076 . . . . 5
124 rnggrp 16478 . . . . . . 7
1253, 124syl 16 . . . . . 6
12687, 14ffvelrnd 5814 . . . . . 6
1277, 80, 17grplid 15505 . . . . . 6
128125, 126, 127syl2anc 646 . . . . 5
12991, 123, 1283eqtrd 2458 . . . 4
13049fveq2d 5665 . . . . . . 7
131 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
132131, 6, 5, 7coe1f 17433 . . . . . . . . . 10
13341, 132syl 16 . . . . . . . . 9
134 ffvelrn 5811 . . . . . . . . 9
135133, 30, 134sylancl 647 . . . . . . . 8
13612, 5, 7, 10evl1sca 21238 . . . . . . . 8
13713, 135, 136syl2anc 646 . . . . . . 7
138130, 137eqtrd 2454 . . . . . 6
139138fveq1d 5663 . . . . 5
140 fvex 5671 . . . . . . 7
141140fvconst2 5902 . . . . . 6
14214, 141syl 16 . . . . 5
143139, 142eqtrd 2454 . . . 4
14483, 129, 1433eqtrd 2458 . . 3
145144fveq2d 5665 . 2
14649, 145eqtr4d 2457 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  u.cun 3303  {csn 3853   class class class wbr 4267  X.cxp 4809  'ccnv 4810  "cima 4814  Fnwfn 5385  -->wf 5386  cfv 5390  (class class class)co 6061  oFcof 6288  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmnf 9362   cxr 9363   clt 9364   cle 9365   cn0 10525   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   c0g 14318   cpws 14325   cgrp 15350   csg 15353   cghm 15681   crg 16469   ccrg 16470   crh 16627   cnzr 17148   cascl 17191   cv1 17394   cpl1 17395   ce1 17397   cco1 17398   cdg1 21265   cmn1 21338   cuc1p 21339   cq1p 21340   cr1p 21341 This theorem is referenced by:  facth1  21377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-ofr 6291  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-supp 6660  df-tpos 6707  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fsupp 7580  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-hash 12045  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-prds 14326  df-pws 14328  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-mhm 15404  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-mulg 15485  df-subg 15615  df-ghm 15682  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-abl 16217  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-cring 16473  df-ur 16474  df-oppr 16538  df-dvdsr 16556  df-unit 16557  df-invr 16587  df-rnghom 16629  df-subrg 16676  df-lmod 16763  df-lss 16823  df-lsp 16862  df-nzr 17149  df-rlreg 17163  df-assa 17192  df-asp 17193  df-ascl 17194  df-psr 17237  df-mvr 17238  df-mpl 17239  df-evls 17240  df-evl 17241  df-opsr 17245  df-psr1 17400  df-vr1 17401  df-ply1 17402  df-evl1 17404  df-coe1 17405  df-cnfld 17529  df-mdeg 21266  df-deg1 21267  df-mon1 21343  df-uc1p 21344  df-q1p 21345  df-r1p 21346
 Copyright terms: Public domain W3C validator