Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rem Unicode version

Theorem ply1rem 22035
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 13884). If a polynomial is divided by the linear factor , the remainder is equal to (A), the evaluation of the polynomial at (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p
ply1rem.b
ply1rem.k
ply1rem.x
ply1rem.m
ply1rem.a
ply1rem.g
ply1rem.o
ply1rem.1
ply1rem.2
ply1rem.3
ply1rem.4
ply1rem.e
Assertion
Ref Expression
ply1rem

Proof of Theorem ply1rem
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . . . . . . 9
2 nzrrng 17519 . . . . . . . . 9
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 ply1rem.4 . . . . . . . 8
5 ply1rem.p . . . . . . . . . . 11
6 ply1rem.b . . . . . . . . . . 11
7 ply1rem.k . . . . . . . . . . 11
8 ply1rem.x . . . . . . . . . . 11
9 ply1rem.m . . . . . . . . . . 11
10 ply1rem.a . . . . . . . . . . 11
11 ply1rem.g . . . . . . . . . . 11
12 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11
13 ply1rem.2 . . . . . . . . . . 11
14 ply1rem.3 . . . . . . . . . . 11
15 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
16 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
17 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 22034 . . . . . . . . . 10
1918simp1d 1000 . . . . . . . . 9
20 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
2120, 15mon1puc1p 22022 . . . . . . . . 9
223, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8
23 ply1rem.e . . . . . . . . 9
2423, 5, 6, 20, 16r1pdeglt 22030 . . . . . . . 8
253, 4, 22, 24syl3anc 1219 . . . . . . 7
2618simp2d 1001 . . . . . . 7
2725, 26breqtrd 4433 . . . . . 6
28 1e0p1 10922 . . . . . 6
2927, 28syl6breq 4448 . . . . 5
30 0nn0 10732 . . . . . 6
31 nn0leltp1 10841 . . . . . 6
3230, 31mpan2 671 . . . . 5
3329, 32syl5ibrcom 222 . . . 4
34 elsni 4018 . . . . . 6
35 0xr 9567 . . . . . . 7
36 mnfle 11252 . . . . . . 7
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6
3834, 37syl6eqbr 4446 . . . . 5
3938a1i 11 . . . 4
4023, 5, 6, 20r1pcl 22029 . . . . . . 7
413, 4, 22, 40syl3anc 1219 . . . . . 6
4216, 5, 6deg1cl 21954 . . . . . 6
4341, 42syl 16 . . . . 5
44 elun 3611 . . . . 5
4543, 44sylib 196 . . . 4
4633, 39, 45mpjaod 381 . . 3
4716, 5, 6, 10deg1le0 21983 . . . 4
483, 41, 47syl2anc 661 . . 3
4946, 48mpbid 210 . 2
50 eqid 2454 . . . . . . . . 9
51 eqid 2454 . . . . . . . . 9
52 eqid 2454 . . . . . . . . 9
535, 6, 20, 50, 23, 51, 52r1pid 22031 . . . . . . . 8
543, 4, 22, 53syl3anc 1219 . . . . . . 7
5554fveq2d 5817 . . . . . 6
56 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
5712, 5, 56, 7evl1rhm 17959 . . . . . . . . 9
5813, 57syl 16 . . . . . . . 8
59 rhmghm 16991 . . . . . . . 8
6058, 59syl 16 . . . . . . 7
615ply1rng 17883 . . . . . . . . 9
623, 61syl 16 . . . . . . . 8
6350, 5, 6, 20q1pcl 22027 . . . . . . . . 9
643, 4, 22, 63syl3anc 1219 . . . . . . . 8
655, 6, 15mon1pcl 22016 . . . . . . . . 9
6619, 65syl 16 . . . . . . . 8
676, 51rngcl 16834 . . . . . . . 8
6862, 64, 66, 67syl3anc 1219 . . . . . . 7
69 eqid 2454 . . . . . . . 8
706, 52, 69ghmlin 15911 . . . . . . 7
7160, 68, 41, 70syl3anc 1219 . . . . . 6
72 eqid 2454 . . . . . . 7
73 fvex 5823 . . . . . . . . 9
747, 73eqeltri 2538 . . . . . . . 8
7574a1i 11 . . . . . . 7
766, 72rhmf 16992 . . . . . . . . 9
7758, 76syl 16 . . . . . . . 8
7877, 68ffvelrnd 5967 . . . . . . 7
7977, 41ffvelrnd 5967 . . . . . . 7
80 eqid 2454 . . . . . . 7
8156, 72, 1, 75, 78, 79, 80, 69pwsplusgval 14587 . . . . . 6
8255, 71, 813eqtrd 2499 . . . . 5
8382fveq1d 5815 . . . 4
8456, 7, 72, 1, 75, 78pwselbas 14586 . . . . . . 7
85 ffn 5679 . . . . . . 7
8684, 85syl 16 . . . . . 6
8756, 7, 72, 1, 75, 79pwselbas 14586 . . . . . . 7
88 ffn 5679 . . . . . . 7
8987, 88syl 16 . . . . . 6
90 fnfvof 6466 . . . . . 6
9186, 89, 75, 14, 90syl22anc 1220 . . . . 5
92 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
936, 51, 92rhmmul 16993 . . . . . . . . . 10
9458, 64, 66, 93syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
9577, 64ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . 10
9677, 66ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . 10
97 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
9856, 72, 1, 75, 95, 96, 97, 92pwsmulrval 14588 . . . . . . . . 9
9994, 98eqtrd 2495 . . . . . . . 8
10099fveq1d 5815 . . . . . . 7
10156, 7, 72, 1, 75, 95pwselbas 14586 . . . . . . . . 9
102 ffn 5679 . . . . . . . . 9
103101, 102syl 16 . . . . . . . 8
10456, 7, 72, 1, 75, 96pwselbas 14586 . . . . . . . . 9
105 ffn 5679 . . . . . . . . 9
106104, 105syl 16 . . . . . . . 8
107 fnfvof 6466 . . . . . . . 8
108103, 106, 75, 14, 107syl22anc 1220 . . . . . . 7
109 snidg 4019 . . . . . . . . . . . . 13
11014, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11118simp3d 1002 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . 11
113 fniniseg 5947 . . . . . . . . . . . 12
114106, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11
115112, 114mpbid 210 . . . . . . . . . 10
116115simprd 463 . . . . . . . . 9
117116oveq2d 6238 . . . . . . . 8
118101, 14ffvelrnd 5967 . . . . . . . . 9
1197, 97, 17rngrz 16858 . . . . . . . . 9
1203, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . 8
121117, 120eqtrd 2495 . . . . . . 7
122100, 108, 1213eqtrd 2499 . . . . . 6
123122oveq1d 6237 . . . . 5
124 rnggrp 16826 . . . . . . 7
1253, 124syl 16 . . . . . 6
12687, 14ffvelrnd 5967 . . . . . 6
1277, 80, 17grplid 15727 . . . . . 6
128125, 126, 127syl2anc 661 . . . . 5
12991, 123, 1283eqtrd 2499 . . . 4
13049fveq2d 5817 . . . . . . 7
131 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
132131, 6, 5, 7coe1f 17844 . . . . . . . . . 10
13341, 132syl 16 . . . . . . . . 9
134 ffvelrn 5964 . . . . . . . . 9
135133, 30, 134sylancl 662 . . . . . . . 8
13612, 5, 7, 10evl1sca 17961 . . . . . . . 8
13713, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . 7
138130, 137eqtrd 2495 . . . . . 6
139138fveq1d 5815 . . . . 5
140 fvex 5823 . . . . . . 7
141140fvconst2 6058 . . . . . 6
14214, 141syl 16 . . . . 5
143139, 142eqtrd 2495 . . . 4
14483, 129, 1433eqtrd 2499 . . 3
145144fveq2d 5817 . 2
14649, 145eqtr4d 2498 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  u.cun 3440  {csn 3993   class class class wbr 4409  X.cxp 4955  'ccnv 4956  "cima 4960  Fnwfn 5532  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222  oFcof 6451  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmnf 9553   cxr 9554   clt 9555   cle 9556   cn0 10717   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   c0g 14537   cpws 14544   cgrp 15569   csg 15572   cghm 15903   crg 16821   ccrg 16822   crh 16980   cnzr 17515   cascl 17559   cv1 17809   cpl1 17810   cco1 17811   ce1 17942   cdg1 21923   cmn1 21997   cuc1p 21998   cq1p 21999   cr1p 22000 This theorem is referenced by:  facth1  22036 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-ofr 6454  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-tpos 6879  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-hash 12261  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-prds 14545  df-pws 14547  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-mhm 15623  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-mulg 15707  df-subg 15837  df-ghm 15904  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-abl 16441  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-srg 16783  df-rng 16823  df-cring 16824  df-oppr 16891  df-dvdsr 16909  df-unit 16910  df-invr 16940  df-rnghom 16982  df-subrg 17039  df-lmod 17126  df-lss 17190  df-lsp 17229  df-nzr 17516  df-rlreg 17530  df-assa 17560  df-asp 17561  df-ascl 17562  df-psr 17599  df-mvr 17600  df-mpl 17601  df-opsr 17603  df-evls 17765  df-evl 17766  df-psr1 17813  df-vr1 17814  df-ply1 17815  df-coe1 17816  df-evl1 17944  df-cnfld 18012  df-mdeg 21924  df-deg1 21925  df-mon1 22002  df-uc1p 22003  df-q1p 22004  df-r1p 22005
 Copyright terms: Public domain W3C validator