MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm54.43lem Unicode version

Theorem pm54.43lem 8401
Description: In Theorem *54.43 of [WhiteheadRussell] p. 360, the number 1 is defined as the collection of all sets with cardinality 1 (i.e. all singletons; see card1 8370), so that their means, in our notation, . Here we show that this is equivalent to so that we can use the latter more convenient notation in pm54.43 8402. (Contributed by NM, 4-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
pm54.43lem
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem pm54.43lem
StepHypRef Expression
1 carden2b 8369 . . . 4
2 1onn 7307 . . . . 5
3 cardnn 8365 . . . . 5
42, 3ax-mp 5 . . . 4
51, 4syl6eq 2514 . . 3
64eqeq2i 2475 . . . . 5
76biimpri 206 . . . 4
8 1n0 7164 . . . . . . . 8
98neii 2656 . . . . . . 7
10 eqeq1 2461 . . . . . . 7
119, 10mtbiri 303 . . . . . 6
12 ndmfv 5895 . . . . . 6
1311, 12nsyl2 127 . . . . 5
14 1on 7156 . . . . . 6
15 onenon 8351 . . . . . 6
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5
17 carden2 8389 . . . . 5
1813, 16, 17sylancl 662 . . . 4
197, 18mpbid 210 . . 3
205, 19impbii 188 . 2
21 elex 3118 . . . 4
2213, 21syl 16 . . 3
23 fveq2 5871 . . . 4
2423eqeq1d 2459 . . 3
2522, 24elab3 3253 . 2
2620, 25bitr4i 252 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109   c0 3784   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   c1o 7142   cen 7533   ccrd 8337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator