Theorem pncan 9562

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 451	. . 3
2		simpl 447	. . 3
3	1, 2	addcomd 9517	. 2
4		addcl 9310	. . 3
5		subadd 9559	. . 3
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1203	. 2
7	3, 6	mpbird 226	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  (class class class)co 6061  cc 9226  caddc 9231  cmin 9541

This theorem is referenced by:  pncan2  9563  addsubass  9566  pncan3oi  9572  subid1  9575  nppcan2  9586  pncand  9666  nn1m1nn  10288  nnsub  10306  elnn0nn  10568  elz2  10608  zrevaddcl  10635  uzindOLD  10681  qrevaddcl  10920  irradd  10922  fzrev3  11463  elfzp1b  11478  fzrevral3  11487  fzval3  11546  seqf1olem1  11786  seqf1olem2  11787  subsq2  11915  bcp1nk  12034  bcp1m1  12037  bcpasc  12038  hashbclem  12146  wrdind  12312  wrd2ind  12313  shftlem  12498  shftval5  12508  isershft  13082  isercoll2  13087  fsump1  13164  fsumshft  13187  fsumtscopo  13205  fsumparts  13209  bcxmas  13238  isum1p  13244  climcndslem1  13252  geolim  13270  mertenslem2  13285  mertens  13286  eftlub  13333  effsumlt  13335  eirrlem  13426  dvdsadd  13511  3dvds  13536  prmind2  13714  iserodd  13842  fldivp1  13899  prmpwdvds  13905  pockthlem  13906  prmreclem4  13920  prmreclem6  13922  4sqlem11  13956  vdwapun  13975  ramub1lem1  14027  ramcl  14030  1259lem4  14098  1259prm  14100  2503lem2  14102  2503prm  14104  4001lem3  14107  4001prm  14109  efgsval2  16167  efgsrel  16168  pcoass  20296  shft2rab  20691  ovolicc2lem4  20703  uniioombllem3  20765  uniioombllem4  20766  dvexp  21127  dvfsumlem1  21198  degltp1le  21286  ply1divex  21349  plyaddlem1  21422  plymullem1  21423  dvply1  21491  dvply2g  21492  vieta1lem2  21518  aaliou3lem7  21556  dvradcnv  21627  pserdvlem2  21634  abssinper  21721  eff1o  21746  advlogexp  21841  atantayl3  22075  leibpilem1  22076  leibpilem2  22077  log2tlbnd  22081  log2ub  22085  birthday  22089  emcllem2  22131  harmonicbnd4  22145  wilthlem2  22148  basellem8  22166  ppiprm  22230  ppinprm  22231  chtprm  22232  chtnprm  22233  chpp1  22234  ppiublem2  22283  ppiub  22284  chtub  22292  perfectlem1  22309  perfectlem2  22310  perfect  22311  bcp1ctr  22359  bposlem6  22369  bposlem8  22371  lgsvalmod  22395  lgseisen  22433  lgsquadlem1  22434  lgsquad2lem1  22438  2sqlem10  22454  rplogsumlem1  22474  selberg2lem  22540  logdivbnd  22546  pntrsumo1  22555  pntpbnd2  22577  eupap1  23276  eupath2lem3  23279  gxadd  23441  lnfn0i  25125  subfacp1lem5  26775  subfacp1lem6  26776  subfacval2  26778  subfaclim  26779  cvmliftlem7  26883  cvmliftlem10  26886  fsumkthpow  27901  mblfinlem2  28100  itg2addnclem3  28116  fdc  28312  mettrifi  28324  heiborlem4  28384  heiborlem6  28386  lzenom  28781  2nn0ind  28959  jm2.17a  28976  jm2.17b  28977  jm2.17c  28978  stoweidlem34  29503  wlklenfislenpm1  29958  wlkiswwlk1  29998  wwlknext  30030  clwwlkf1  30132  cshwlemma1  30163  extwwlkfablem2  30345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-ltxr 9369  df-sub 9543