Theorem pncan 9849

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . 3
2		simpl 457	. . 3
3	1, 2	addcomd 9803	. 2
4		addcl 9595	. . 3
5		subadd 9846	. . 3
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1228	. 2
7	3, 6	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmin 9828

This theorem is referenced by:  pncan2  9850  addsubass  9853  pncan3oi  9859  subid1  9862  nppcan2  9873  pncand  9955  nn1m1nn  10581  nnsub  10599  elnn0nn  10863  elz2  10906  zrevaddcl  10934  uzindOLD  10982  qrevaddcl  11233  irradd  11235  fzrev3  11774  elfzp1b  11784  fzrevral3  11794  fzval3  11885  seqf1olem1  12146  seqf1olem2  12147  subsq2  12276  bcp1nk  12395  bcp1m1  12398  bcpasc  12399  hashbclem  12501  wrdind  12702  wrd2ind  12703  2cshwcshw  12793  shftlem  12901  shftval5  12911  isershft  13486  isercoll2  13491  fsump1  13571  mptfzshft  13593  telfsumo  13616  fsumparts  13620  bcxmas  13647  isum1p  13653  geolim  13679  mertenslem2  13694  mertens  13695  eftlub  13844  effsumlt  13846  eirrlem  13937  dvdsadd  14024  prmind2  14228  iserodd  14359  fldivp1  14416  prmpwdvds  14422  pockthlem  14423  prmreclem4  14437  prmreclem6  14439  4sqlem11  14473  vdwapun  14492  ramub1lem1  14544  ramcl  14547  efgsval2  16751  efgsrel  16752  pcoass  21524  shft2rab  21919  uniioombllem3  21994  uniioombllem4  21995  dvexp  22356  dvfsumlem1  22427  degltp1le  22473  ply1divex  22537  plyaddlem1  22610  plymullem1  22611  dvply1  22680  dvply2g  22681  vieta1lem2  22707  aaliou3lem7  22745  dvradcnv  22816  pserdvlem2  22823  abssinper  22911  advlogexp  23036  atantayl3  23270  leibpilem1  23271  leibpilem2  23272  emcllem2  23326  harmonicbnd4  23340  wilthlem2  23343  basellem8  23361  ppiprm  23425  ppinprm  23426  chtprm  23427  chtnprm  23428  chpp1  23429  chtub  23487  perfectlem1  23504  perfectlem2  23505  perfect  23506  bcp1ctr  23554  lgsvalmod  23590  lgseisen  23628  lgsquadlem1  23629  lgsquad2lem1  23633  2sqlem10  23649  rplogsumlem1  23669  selberg2lem  23735  logdivbnd  23741  pntrsumo1  23750  pntpbnd2  23772  wlklenvm1  24532  wlkiswwlk1  24690  wwlknext  24724  clwwlkf1  24796  eupap1  24976  eupath2lem3  24979  extwwlkfablem2  25078  gxadd  25277  subfacp1lem5  28628  subfacp1lem6  28629  subfacval2  28631  subfaclim  28632  cvmliftlem7  28736  cvmliftlem10  28739  fsumkthpow  29818  mblfinlem2  30052  itg2addnclem3  30068  fdc  30238  mettrifi  30250  heiborlem4  30310  heiborlem6  30312  lzenom  30703  2nn0ind  30881  jm2.17a  30898  jm2.17b  30899  jm2.17c  30900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830