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Theorem pockthg 14424
Description: The generalized Pocklington's theorem. If N 1=A where , then is prime if and only if for every prime factor of , there is an such that x (N 1)=1( N) and (x ((N 1) ) 1,N)=1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthg.5
Assertion
Ref Expression
pockthg
Distinct variable groups:   , ,N   , ,   , ,

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3
2 pockthg.1 . . . . . . 7
3 pockthg.2 . . . . . . 7
42, 3nnmulcld 10608 . . . . . 6
5 nnuz 11145 . . . . . 6
64, 5syl6eleq 2555 . . . . 5
7 eluzp1p1 11135 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 df-2 10619 . . . . 5
109fveq2i 5874 . . . 4
118, 10syl6eleqr 2556 . . 3
121, 11eqeltrd 2545 . 2
13 eluzelre 11120 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
1514adantr 465 . . . . . . 7
162nnred 10576 . . . . . . . . 9
1716resqcld 12336 . . . . . . . 8
1817adantr 465 . . . . . . 7
19 prmnn 14220 . . . . . . . . . 10
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
2120nnred 10576 . . . . . . . 8
2221resqcld 12336 . . . . . . 7
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11
243nnred 10576 . . . . . . . . . . . 12
252nngt0d 10604 . . . . . . . . . . . 12
26 ltmul2 10418 . . . . . . . . . . . 12
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11
2823, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10
292, 2nnmulcld 10608 . . . . . . . . . . 11
30 nnltp1le 10944 . . . . . . . . . . 11
314, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3228, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9
332nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
3433sqvald 12307 . . . . . . . . 9
3532, 1, 343brtr4d 4482 . . . . . . . 8
3635adantr 465 . . . . . . 7
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
39 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241exp1d 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 nnge1 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
462nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 1nn0 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 pcdvdsb 14392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5145, 47, 49, 50syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5244, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5342, 52eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5654, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5754, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5854, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 14423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68673expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6953, 68embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 prmuz2 14235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 uz2m1nn 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 pccl 14373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7771, 75, 76syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8078, 79syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83pccld 14374 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 elnn0 10822 . . . . . . . . . . . . . . 15
8684, 85sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
8770, 81, 86mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . 13
8887ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11
9046adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9175nnzd 10993 . . . . . . . . . . . 12
92 pc2dvds 14402 . . . . . . . . . . . 12
9390, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
9489, 93mpbird 232 . . . . . . . . . 10
95 dvdsle 14031 . . . . . . . . . . 11
9690, 75, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
9794, 96mpd 15 . . . . . . . . 9
982nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . 11
9998adantr 465 . . . . . . . . . 10
10020nnnn0d 10877 . . . . . . . . . 10
101 nn0ltlem1 10948 . . . . . . . . . 10
10299, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . 9
10397, 102mpbird 232 . . . . . . . 8
10416adantr 465 . . . . . . . . 9
10598nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . 10
106105adantr 465 . . . . . . . . 9
107100nn0ge0d 10880 . . . . . . . . 9
108104, 21, 106, 107lt2sqd 12344 . . . . . . . 8
109103, 108mpbid 210 . . . . . . 7
11015, 18, 22, 36, 109lelttrd 9761 . . . . . 6
11115, 22ltnled 9753 . . . . . 6
112110, 111mpbid 210 . . . . 5
113112expr 615 . . . 4
114113con2d 115 . . 3
115114ralrimiva 2871 . 2
116 isprm5 14253 . 2
11712, 115, 116sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cmo 11996   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217   cpc 14360
This theorem is referenced by:  pockthi  14425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-odz 14295  df-phi 14296  df-pc 14361
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