MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pofun Unicode version

Theorem pofun 4821
Description: A function preserves a partial order relation. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pofun.1
pofun.2
Assertion
Ref Expression
pofun
Distinct variable groups:   , ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem pofun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
21nfel1 2635 . . . . . 6
3 csbeq1a 3443 . . . . . . 7
43eleq1d 2526 . . . . . 6
52, 4rspc 3204 . . . . 5
65impcom 430 . . . 4
7 poirr 4816 . . . . 5
8 df-br 4453 . . . . . 6
9 pofun.1 . . . . . . 7
109eleq2i 2535 . . . . . 6
11 nfcv 2619 . . . . . . . 8
12 nfcv 2619 . . . . . . . 8
131, 11, 12nfbr 4496 . . . . . . 7
14 nfv 1707 . . . . . . 7
15 vex 3112 . . . . . . 7
163breq1d 4462 . . . . . . 7
17 vex 3112 . . . . . . . . . 10
18 pofun.2 . . . . . . . . . 10
1917, 18csbie 3460 . . . . . . . . 9
20 csbeq1 3437 . . . . . . . . 9
2119, 20syl5eqr 2512 . . . . . . . 8
2221breq2d 4464 . . . . . . 7
2313, 14, 15, 15, 16, 22opelopabf 4777 . . . . . 6
248, 10, 233bitri 271 . . . . 5
257, 24sylnibr 305 . . . 4
266, 25sylan2 474 . . 3
2726anassrs 648 . 2
285com12 31 . . . . . 6
29 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
3029nfel1 2635 . . . . . . . 8
31 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
3231eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3330, 32rspc 3204 . . . . . . 7
3433com12 31 . . . . . 6
35 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
3635nfel1 2635 . . . . . . . 8
37 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
3837eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3936, 38rspc 3204 . . . . . . 7
4039com12 31 . . . . . 6
4128, 34, 403anim123d 1306 . . . . 5
4241imp 429 . . . 4
4342adantll 713 . . 3
44 potr 4817 . . . . 5
45 df-br 4453 . . . . . . 7
469eleq2i 2535 . . . . . . 7
47 nfv 1707 . . . . . . . 8
48 vex 3112 . . . . . . . 8
49 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
5019, 49syl5eqr 2512 . . . . . . . . 9
5150breq2d 4464 . . . . . . . 8
5213, 47, 15, 48, 16, 51opelopabf 4777 . . . . . . 7
5345, 46, 523bitri 271 . . . . . 6
54 df-br 4453 . . . . . . 7
559eleq2i 2535 . . . . . . 7
5629, 11, 12nfbr 4496 . . . . . . . 8
57 nfv 1707 . . . . . . . 8
58 vex 3112 . . . . . . . 8
5931breq1d 4462 . . . . . . . 8
60 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
6119, 60syl5eqr 2512 . . . . . . . . 9
6261breq2d 4464 . . . . . . . 8
6356, 57, 48, 58, 59, 62opelopabf 4777 . . . . . . 7
6454, 55, 633bitri 271 . . . . . 6
6553, 64anbi12i 697 . . . . 5
66 df-br 4453 . . . . . 6
679eleq2i 2535 . . . . . 6
68 nfv 1707 . . . . . . 7
6961breq2d 4464 . . . . . . 7
7013, 68, 15, 58, 16, 69opelopabf 4777 . . . . . 6
7166, 67, 703bitri 271 . . . . 5
7244, 65, 713imtr4g 270 . . . 4
7372adantlr 714 . . 3
7443, 73syldan 470 . 2
7527, 74ispod 4813 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  Powpo 4803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805
  Copyright terms: Public domain W3C validator