MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  powm2modprm Unicode version

Theorem powm2modprm 14328
Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, then the integer to the power of the prime number minus 2 is 1 modulo the prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
powm2modprm

Proof of Theorem powm2modprm
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4
2 simpr 461 . . . . 5
32adantr 465 . . . 4
4 m1dvdsndvds 14325 . . . . 5
54imp 429 . . . 4
6 eqid 2457 . . . . . 6
76modprminv 14326 . . . . 5
8 simpr 461 . . . . . 6
98eqcomd 2465 . . . . 5
107, 9syl 16 . . . 4
111, 3, 5, 10syl3anc 1228 . . 3
12 modprm1div 14324 . . . . . . 7
1312biimpar 485 . . . . . 6
1413oveq1d 6311 . . . . 5
1514oveq1d 6311 . . . 4
16 zre 10893 . . . . . 6
1716ad2antlr 726 . . . . 5
18 prmm2nn0 14238 . . . . . . . . . . 11
1918anim2i 569 . . . . . . . . . 10
2019ancoms 453 . . . . . . . . 9
2120adantr 465 . . . . . . . 8
22 zexpcl 12181 . . . . . . . 8
2321, 22syl 16 . . . . . . 7
24 prmnn 14220 . . . . . . . . 9
2524adantr 465 . . . . . . . 8
2625adantr 465 . . . . . . 7
2723, 26zmodcld 12016 . . . . . 6
2827nn0zd 10992 . . . . 5
2924nnrpd 11284 . . . . . . 7
3029adantr 465 . . . . . 6
3130adantr 465 . . . . 5
32 modmulmod 12052 . . . . 5
3317, 28, 31, 32syl3anc 1228 . . . 4
3420, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
3534, 25zmodcld 12016 . . . . . . . . 9
3635nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
3736mulid2d 9635 . . . . . . 7
3837oveq1d 6311 . . . . . 6
3938adantr 465 . . . . 5
40 reexpcl 12183 . . . . . . . . 9
4116, 18, 40syl2anr 478 . . . . . . . 8
4241, 30jca 532 . . . . . . 7
4342adantr 465 . . . . . 6
44 modabs2 12030 . . . . . 6
4543, 44syl 16 . . . . 5
4639, 45eqtrd 2498 . . . 4
4715, 33, 463eqtr3d 2506 . . 3
4811, 47eqtr2d 2499 . 2
4948ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfz 11701   cmo 11996   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  25112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-phi 14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator