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Theorem poxp 6912
Description: A lexicographical ordering of two posets. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
poxp.1
Assertion
Ref Expression
poxp
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,S,

Proof of Theorem poxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5021 . . . . . . . 8
2 elxp 5021 . . . . . . . 8
3 elxp 5021 . . . . . . . 8
4 3an6 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 poirr 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
65ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7 poirr 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
87intnand 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
98ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
106, 9im2anan9 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1210, 11syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1413intnand 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15143ad2antr1 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16 an4 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
17 3an6 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
18 potr 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
19183impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2019orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
21203expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2221expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
23 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2423biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2524orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2625expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2726adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2922, 28jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
31 potr 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3231expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3332anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3433orim2d 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
35 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
36 equequ1 1798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3736anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3835, 37orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3938imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4034, 39syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4140expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4241com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4342impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4430, 43jaao 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4544impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4645an4s 826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4717, 46sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
48 an4 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4948biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
50493adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5247, 51jctild 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5416, 53syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5515, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5756anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5857notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
59583ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
60 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61603adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
62 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
63623adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6461, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
66653adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6764, 66imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6859, 67anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
69 poxp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7069xporderlem 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7170notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7269xporderlem 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7369xporderlem 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7472, 73anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7569xporderlem 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7674, 75imbi12i 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7771, 76anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7868, 77syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7955, 78syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
824, 81sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83823exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14
8584exlimivv 1723 . . . . . . . . . . . . 13
8685com3l 81 . . . . . . . . . . . 12
8786exlimivv 1723 . . . . . . . . . . 11
8887com3l 81 . . . . . . . . . 10
8988exlimivv 1723 . . . . . . . . 9
90893imp 1190 . . . . . . . 8
911, 2, 3, 90syl3anb 1271 . . . . . . 7
92913expia 1198 . . . . . 6
9392com3r 79 . . . . 5
9493imp 429 . . . 4
9594ralrimiv 2869 . . 3
9695ralrimivva 2878 . 2
97 df-po 4805 . 2
9896, 97sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  Powpo 4803  X.cxp 5002  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  soxp  6913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801
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