MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2ne Unicode version

Theorem pr2ne 8404
Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
pr2ne

Proof of Theorem pr2ne
StepHypRef Expression
1 preq2 4110 . . . . 5
21eqcoms 2469 . . . 4
3 enpr1g 7601 . . . . . . . 8
4 prex 4694 . . . . . . . . . . . 12
5 eqeng 7569 . . . . . . . . . . . 12
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
7 entr 7587 . . . . . . . . . . . . 13
8 1sdom2 7738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 sdomnen 7564 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 ensym 7584 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 entr 7587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
1510, 14mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . 14
1615a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13
177, 16syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1817ex 434 . . . . . . . . . . 11
196, 18syl 16 . . . . . . . . . 10
2019com12 31 . . . . . . . . 9
2120a1dd 46 . . . . . . . 8
223, 21syl 16 . . . . . . 7
2322com23 78 . . . . . 6
2423imp 429 . . . . 5
2524pm2.43a 49 . . . 4
262, 25syl5 32 . . 3
2726necon2ad 2670 . 2
28 pr2nelem 8403 . . 3
29283expia 1198 . 2
3027, 29impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  {cpr 4031   class class class wbr 4452   c1o 7142   c2o 7143   cen 7533   csdm 7535
This theorem is referenced by:  prdom2  8405  pmtrrn2  16485  mdetunilem7  19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator