MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsco Unicode version

Theorem prdsco 13741
Description: Structure product composition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdshom.h
prdsco.o
Assertion
Ref Expression
prdsco
Distinct variable groups:   , , , , ,   , , , ,   , , , , ,   I, , , , ,   ,P   , , , , ,   S, , , , ,
Allowed substitution hints:   P( , , , )   ( , , , , )   ( )   ( , , , , )   ( , , , , )

Proof of Theorem prdsco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3
2 eqid 2443 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13731 . . 3
8 eqid 2443 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 13732 . . 3
10 eqid 2443 . . . 4
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 13733 . . 3
12 eqid 2443 . . . 4
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 13734 . . 3
14 eqid 2443 . . . 4
151, 4, 5, 6, 3, 14prdstset 13739 . . 3
16 eqid 2443 . . . 4
171, 4, 5, 6, 3, 16prdsle 13735 . . 3
18 eqid 2443 . . . 4
191, 4, 5, 6, 3, 18prdsds 13737 . . 3
20 prdshom.h . . . 4
211, 4, 5, 6, 3, 20prdshom 13740 . . 3
22 eqidd 2444 . . 3
231, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 4, 5prdsval 13729 . 2
24 prdsco.o . 2
25 ccoid 13696 . 2
26 fvex 5785 . . . . . 6
276, 26eqeltri 2513 . . . . 5
2827, 27xpex 5032 . . . 4
2928, 27mpt2ex 6475 . . 3
3029a1i 11 . 2
31 snsspr2 3976 . . . 4
32 ssun2 3500 . . . 4
3331, 32sstri 3346 . . 3
34 ssun2 3500 . . 3
3533, 34sstri 3346 . 2
3623, 24, 25, 30, 35prdsvallem 13728 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1654  e.wcel 1728   cvv 2965  u.cun 3307  {csn 3841  {cpr 3842  {ctp 3843  <.cop 3844  e.cmpt 4301  X.cxp 4917  domcdm 4919  `cfv 5501  (class class class)co 6129  e.cmpt2 6131   c1st 6397   c2nd 6398   cnx 13517   cbs 13520   cplusg 13580   cmulr 13581   csca 13583   cvsca 13584   cts 13586   cple 13587   cds 13589   chom 13591   cco 13592   cprds 13720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-1o 6773  df-oadd 6777  df-er 6954  df-map 7069  df-ixp 7113  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-sup 7495  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-2 10109  df-3 10110  df-4 10111  df-5 10112  df-6 10113  df-7 10114  df-8 10115  df-9 10116  df-10 10117  df-n0 10273  df-z 10334  df-dec 10434  df-uz 10540  df-fz 11095  df-struct 13522  df-ndx 13523  df-slot 13524  df-base 13525  df-plusg 13593  df-mulr 13594  df-sca 13596  df-vsca 13597  df-tset 13599  df-ple 13600  df-ds 13602  df-hom 13604  df-cco 13605  df-prds 13722
  Copyright terms: Public domain W3C validator