Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmgp Unicode version

Theorem prdsmgp 16792
 Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmgp.y
prdsmgp.m
prdsmgp.z
prdsmgp.i
prdsmgp.s
prdsmgp.r
Assertion
Ref Expression
prdsmgp

Proof of Theorem prdsmgp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . . . 6
2 eqid 2450 . . . . . 6
31, 2mgpbas 16686 . . . . 5
4 prdsmgp.r . . . . . . . 8
5 fvco2 5849 . . . . . . . 8
64, 5sylan 471 . . . . . . 7
76eqcomd 2457 . . . . . 6
87fveq2d 5777 . . . . 5
93, 8syl5eq 2502 . . . 4
109ixpeq2dva 7362 . . 3
11 prdsmgp.y . . . 4
12 prdsmgp.m . . . . . 6
13 eqid 2450 . . . . . 6
1412, 13mgpbas 16686 . . . . 5
1514eqcomi 2462 . . . 4
16 prdsmgp.s . . . 4
17 prdsmgp.i . . . 4
1811, 15, 16, 17, 4prdsbas2 14493 . . 3
19 prdsmgp.z . . . 4
20 eqid 2450 . . . 4
21 fnmgp 16682 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 ssv 3458 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 fnco 5601 . . . . 5
2622, 4, 24, 25syl3anc 1219 . . . 4
2719, 20, 16, 17, 26prdsbas2 14493 . . 3
2810, 18, 273eqtr4d 2500 . 2
29 eqid 2450 . . . 4
3012, 29mgpplusg 16684 . . 3
31 eqid 2450 . . . . . . . . 9
32 eqid 2450 . . . . . . . . 9
3331, 32mgpplusg 16684 . . . . . . . 8
34 fvco2 5849 . . . . . . . . . . 11
354, 34sylan 471 . . . . . . . . . 10
3635eqcomd 2457 . . . . . . . . 9
3736fveq2d 5777 . . . . . . . 8
3833, 37syl5eq 2502 . . . . . . 7
3938oveqd 6191 . . . . . 6
4039mpteq2dva 4460 . . . . 5
4128, 28, 40mpt2eq123dv 6231 . . . 4
42 fnex 6027 . . . . . 6
434, 17, 42syl2anc 661 . . . . 5
44 fndm 5592 . . . . . 6
454, 44syl 16 . . . . 5
4611, 16, 43, 15, 45, 29prdsmulr 14483 . . . 4
47 fnex 6027 . . . . . 6
4826, 17, 47syl2anc 661 . . . . 5
49 fndm 5592 . . . . . 6
5026, 49syl 16 . . . . 5
51 eqid 2450 . . . . 5
5219, 16, 48, 20, 50, 51prdsplusg 14482 . . . 4
5341, 46, 523eqtr4d 2500 . . 3
5430, 53syl5eqr 2504 . 2
5528, 54jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757   cvv 3052  C_wss 3410  e.cmpt 4432  domcdm 4922  rancrn 4923  o.ccom 4926  Fnwfn 5495  cfv 5500  (class class class)co 6174  e.cmpt2 6176  X_`cixp 7347   cbs 14260   cplusg 14324   cmulr 14325   cprds 14470   cmgp 16680 This theorem is referenced by:  prdsrngd  16794  prdscrngd  16795  prds1  16796  pwsmgp  16800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-oadd 7008  df-er 7185  df-map 7300  df-ixp 7348  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-sup 7776  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-4 10467  df-5 10468  df-6 10469  df-7 10470  df-8 10471  df-9 10472  df-10 10473  df-n0 10665  df-z 10732  df-dec 10841  df-uz 10947  df-fz 11523  df-struct 14262  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-sets 14266  df-plusg 14337  df-mulr 14338  df-sca 14340  df-vsca 14341  df-ip 14342  df-tset 14343  df-ple 14344  df-ds 14346  df-hom 14348  df-cco 14349  df-prds 14472  df-mgp 16681
 Copyright terms: Public domain W3C validator