MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prlem934 Unicode version

Theorem prlem934 9432
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1
Assertion
Ref Expression
prlem934
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 9388 . . . . 5
2 r19.2z 3918 . . . . . 6
32ex 434 . . . . 5
41, 3syl 16 . . . 4
5 prpssnq 9389 . . . . . . . . 9
65pssssd 3600 . . . . . . . 8
76sseld 3502 . . . . . . 7
8 addnqf 9347 . . . . . . . . . 10
98fdmi 5741 . . . . . . . . 9
10 0nnq 9323 . . . . . . . . 9
119, 10ndmovrcl 6461 . . . . . . . 8
1211simprd 463 . . . . . . 7
137, 12syl6com 35 . . . . . 6
1413rexlimivw 2946 . . . . 5
1514com12 31 . . . 4
16 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
1817ralbidv 2896 . . . . . . . 8
1918notbid 294 . . . . . . 7
2019imbi2d 316 . . . . . 6
21 dfpss2 3588 . . . . . . . . . . 11
225, 21sylib 196 . . . . . . . . . 10
2322simprd 463 . . . . . . . . 9
2423adantr 465 . . . . . . . 8
2563ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
26 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . 14
27 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . 15
281, 27sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
30 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 recclnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 mulclnq 9346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 archnq 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3632, 35sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3730, 31, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
42 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
43 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
44 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
45 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
46 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4742, 43, 44, 45, 46caov12 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
48 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4947, 48breq12i 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5041, 49syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5352oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
54 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5553, 54sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5751, 56bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5857biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5938, 39, 40, 58syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 pinq 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 mulclnq 9346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6361, 62sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6460, 38, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6865, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 ltaddnq 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
70 addcomnq 9350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7169, 70syl6breq 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7264, 68, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73 ltsonq 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 ltrelnq 9325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7573, 74sotri 5399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7659, 72, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
78 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
79 df-1nq 9315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8078, 79syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8180oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8382eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8483imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8685oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8786oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8887eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8988imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9190oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9291oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9392eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9493imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
96 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9795, 96syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9998eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10099rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
102101eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
103102biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10497, 100, 103syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1051043impb 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106 3simpa 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
107 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
108107eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109108rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
110 addassnq 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
111 opex 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
112 1nq 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
113112elexi 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
114 distrnq 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
117 addpqnq 9337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11861, 112, 117sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
11979oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
120 1pi 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
121 addpipq 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
122120, 120, 121mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
123120, 122mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
124119, 123syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
125 mulidpi 9285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
126 mulidpi 9285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
127120, 126mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
128125, 127oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
129128, 127opeq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
130124, 129eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
131130fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
132 addclpi 9291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
133120, 132mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
134 pinq 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
135 nqerid 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
136133, 134, 1353syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
137118, 131, 1363eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
139138oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
14097adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
141140oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
142116, 139, 1413eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
143142oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
144110, 143syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
145144eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
146109, 145syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
147146expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
148147expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
149106, 148syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
150149a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 9306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
152151imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154 prcdnq 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15565, 153, 154syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15676, 155mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15737, 156rexlimddv 2953 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
159158exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . 13
16029, 159mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
161160ex 434 . . . . . . . . . . 11
162161ssrdv 3509 . . . . . . . . . 10
16325, 162eqssd 3520 . . . . . . . . 9
1641633expia 1198 . . . . . . . 8
16524, 164mtod 177 . . . . . . 7
166165expcom 435 . . . . . 6
16720, 166vtoclga 3173 . . . . 5
168167com12 31 . . . 4
1694, 15, 1683syld 55 . . 3
170169pm2.01d 169 . 2
171 rexnal 2905 . 2
172170, 171sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1o 7142   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   cplpq 9247   cnq 9251   c1q 9252   cerq 9253   cplq 9254   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258
This theorem is referenced by:  ltaddpr  9433  ltexprlem7  9441  prlem936  9446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380
  Copyright terms: Public domain W3C validator