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Theorem prlem936 9446
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem prlem936
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9325 . . . . 5
21brel 5053 . . . 4
32simprd 463 . . 3
43adantl 466 . 2
5 breq2 4456 . . . . 5
65anbi2d 703 . . . 4
7 oveq2 6304 . . . . . . 7
87eleq1d 2526 . . . . . 6
98notbid 294 . . . . 5
109rexbidv 2968 . . . 4
116, 10imbi12d 320 . . 3
12 prn0 9388 . . . . . 6
13 n0 3794 . . . . . 6
1412, 13sylib 196 . . . . 5
1514adantr 465 . . . 4
16 elprnq 9390 . . . . . . . . . . 11
1716ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10
18 mulidnq 9362 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9
20 simplr 755 . . . . . . . . . 10
21 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . 11
2221biimpa 484 . . . . . . . . . 10
2317, 20, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2419, 23eqbrtrrd 4474 . . . . . . . 8
251brel 5053 . . . . . . . . . . . 12
2625simprd 463 . . . . . . . . . . 11
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
28 mulclnq 9346 . . . . . . . . . 10
2917, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9
30 ltexnq 9374 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
3224, 31mpbid 210 . . . . . . 7
33 simplll 759 . . . . . . . . 9
34 vex 3112 . . . . . . . . . 10
3534prlem934 9432 . . . . . . . . 9
3633, 35syl 16 . . . . . . . 8
3733adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
38 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
39 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 40sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
43 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . 14
4433, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
45 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 addnqf 9347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746fdmi 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48 0nnq 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4947, 48ndmovrcl 6461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5145, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5233, 41, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
54 addclnq 9344 . . . . . . . . . . . . 13
5544, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
56 prub 9393 . . . . . . . . . . . 12
5737, 42, 55, 56syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11
5827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
59 mulclnq 9346 . . . . . . . . . . . . 13
6044, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
62 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
63 recclnq 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64 mulclnq 9346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6563, 64sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
70 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7170oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7269, 71eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7674, 75sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7772, 76syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7968, 78bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 mulnqf 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8281fdmi 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8382, 48ndmovrcl 6461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85 ltanq 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91 distrnq 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
94 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9688, 93, 94, 90, 95caov12 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9773oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9984, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10097, 99sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10196, 100syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103102oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105103, 104eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107101, 106oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10892, 107syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11087, 109bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
11280, 111bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14
113112adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
114 ltanq 9370 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 addcomnq 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 addcomnq 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117115, 116breq12i 4461 . . . . . . . . . . . . . . 15
118114, 117syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14
119118ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
120 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12373oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125123, 124sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126122, 125syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127120, 126sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . 14
129128adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13
130113, 119, 1293bitr3d 283 . . . . . . . . . . . 12
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
13257, 131sylibd 214 . . . . . . . . . 10
133 prcdnq 9392 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133impancom 440 . . . . . . . . . . . . . 14
135134con3d 133 . . . . . . . . . . . . 13
136135ex 434 . . . . . . . . . . . 12
137136com23 78 . . . . . . . . . . 11
13837, 137syl 16 . . . . . . . . . 10
139132, 138mpdd 40 . . . . . . . . 9
140139reximdva 2932 . . . . . . . 8
14136, 140mpd 15 . . . . . . 7
14232, 141exlimddv 1726 . . . . . 6
143142expr 615 . . . . 5
144 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
145144eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
146145notbid 294 . . . . . . . 8
147146rspcev 3210 . . . . . . 7
148147ex 434 . . . . . 6
149148adantl 466 . . . . 5
150143, 149pm2.61d 158 . . . 4
15115, 150exlimddv 1726 . . 3
15211, 151vtoclg 3167 . 2
1534, 152mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cplq 9254   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258
This theorem is referenced by:  reclem3pr  9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380
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