MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdiv Unicode version

Theorem prmdiv 14315
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1
Assertion
Ref Expression
prmdiv

Proof of Theorem prmdiv
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 14252 . . . . . 6
213ad2ant1 1017 . . . . 5
3 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . 12
433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
5 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
6 prmz 14221 . . . . . . . . . . . . . 14
763ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13
8 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . . 13
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
10 coprm 14241 . . . . . . . . . . . . 13
1110biimp3a 1328 . . . . . . . . . . . 12
129, 11eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
13 eulerth 14313 . . . . . . . . . . 11
144, 5, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
15 phiprm 14307 . . . . . . . . . . . . . 14
16153ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13
17 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . . . . 14
184, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1916, 18eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
20 zexpcl 12181 . . . . . . . . . . . 12
215, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
22 1zzd 10920 . . . . . . . . . . 11
23 moddvds 13993 . . . . . . . . . . 11
244, 21, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2514, 24mpbid 210 . . . . . . . . 9
26 prmuz2 14235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 uznn0sub 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 zexpcl 12181 . . . . . . . . . . . . . . 15
315, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
3231zred 10994 . . . . . . . . . . . . 13
3332, 4nndivred 10609 . . . . . . . . . . . 12
3433flcld 11935 . . . . . . . . . . 11
355, 34zmulcld 11000 . . . . . . . . . 10
36 dvdsmul1 14005 . . . . . . . . . 10
377, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9
38 1z 10919 . . . . . . . . . . 11
39 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . 11
4021, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . . 10
417, 35zmulcld 11000 . . . . . . . . . 10
42 dvds2sub 14016 . . . . . . . . . 10
437, 40, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
4425, 37, 43mp2and 679 . . . . . . . 8
455zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
4631zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
477, 34zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . 13
4847zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
4945, 46, 48subdid 10037 . . . . . . . . . . 11
50 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . 13
514nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . . . 14
52 modval 11998 . . . . . . . . . . . . . 14
5332, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
5450, 53syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
56 2m1e1 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5816, 57syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15
594nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 2cnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6259, 60, 61subsubd 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15
6358, 62eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
6463oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
6545, 29expp1d 12311 . . . . . . . . . . . . 13
6646, 45mulcomd 9638 . . . . . . . . . . . . 13
6764, 65, 663eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12
6834zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
6959, 45, 68mul12d 9810 . . . . . . . . . . . 12
7067, 69oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
7149, 55, 703eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
7271oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
7321zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
7441zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
7573, 74, 61sub32d 9986 . . . . . . . . 9
7672, 75eqtrd 2498 . . . . . . . 8
7744, 76breqtrrd 4478 . . . . . . 7
78 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
7978oveq1d 6311 . . . . . . . 8
8079breq2d 4464 . . . . . . 7
8177, 80syl5ibcom 220 . . . . . 6
8245mul01d 9800 . . . . . . . . . 10
8382oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
84 df-neg 9831 . . . . . . . . 9
8583, 84syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
8685breq2d 4464 . . . . . . 7
87 dvdsnegb 14001 . . . . . . . 8
887, 38, 87sylancl 662 . . . . . . 7
8986, 88bitr4d 256 . . . . . 6
9081, 89sylibd 214 . . . . 5
912, 90mtod 177 . . . 4
92 zmodfz 12017 . . . . . . . 8
9331, 4, 92syl2anc 661 . . . . . . 7
9450, 93syl5eqel 2549 . . . . . 6
95 nn0uz 11144 . . . . . . . 8
9618, 95syl6eleq 2555 . . . . . . 7
97 elfzp12 11786 . . . . . . 7
9896, 97syl 16 . . . . . 6
9994, 98mpbid 210 . . . . 5
10099ord 377 . . . 4
10191, 100mpd 15 . . 3
102 1e0p1 11032 . . . 4
103102oveq1i 6306 . . 3
104101, 103syl6eleqr 2556 . 2
105104, 77jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701   cfl 11927   cmo 11996   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217   cphi 14294
This theorem is referenced by:  prmdiveq  14316  prmdivdiv  14317  modprminv  14326  wilthlem2  23343  wilthlem3  23344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-phi 14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator